Projete uma linha de transmissão coaxial que tenha impedância característica de 50 \Omega. O condutor central não pode ter diâmetro inferior a 1 mm e o raio interno do condutor externo não pode ser menor do que 2 mm ou maior do que 5 mm . O preenchimento poderá ser por exemplo de teflon \left(\varepsilon=2.1 \varepsilon_{0}\right).

Passo 1

Resumindo o enunciado, queremos projetar uma linha coaxial com impedância característica de 50\\ \Omega. A linha tem dielétrico com \varepsilon_{r}=2{,}1, raio interno do condutor externo b limitado a 2\\ \mathrm{mm}\le b\le5\\ \mathrm{mm} e raio do condutor central a tal que o diâmetro 2a\ge1\\ \mathrm{mm}. O que precisamos usar é a fórmula da impedância característica de um coaxial preenchido por dielétrico homogêneo:
Z_{0}=\frac{60}{\sqrt{\varepsilon_{r}}}\,\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr).

Passo 2

Isolamos \ln(b/a) para obter a razão geométrica necessária:
\ln\!\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr) =\frac{Z_{0}\,\sqrt{\varepsilon_{r}}}{60} =\frac{50\cdot\sqrt{2{,}1}}{60}.
Calculando \sqrt{2{,}1}\approx1{,}449, temos
\ln\!\Bigl(\tfrac{b}{a}\Bigr)\approx\frac{50\cdot1{,}449}{60}\approx1{,}208.

Passo 3

Exponenciando, a razão b/a fica
\frac{b}{a} =\exp(1{,}208)\approx3{,}35.
Ou seja, para dar 50\\ \Omega precisamos de b\approx3{,}35\,a.

Passo 4

Agora aplicamos as restrições:
  • Se tentássemos o menor a (que é 0{,}5\\ \mathrm{mm}), então b\approx3{,}35\times0{,}5\\ \mathrm{mm}=1{,}675\\ \mathrm{mm}, mas isso violaria b\ge2\\ \mathrm{mm}.
  • Em vez disso, fixamos o menor b=2\\ \mathrm{mm}. Daí a=\frac{b}{3{,}35} =\frac{2\\ \mathrm{mm}}{3{,}35}\approx0{,}60\\ \mathrm{mm},o que satisfaz 2a\approx1{,}2\\ \mathrm{mm}\ge1\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Verificamos rapidamente a impedância com esses valores:
Z_{0} =\frac{60}{\sqrt{2{,}1}} \ln\!\Bigl(\frac{2\,\mathrm{mm}}{0{,}60\,\mathrm{mm}}\Bigr) \approx\frac{60}{1{,}449}\ln(3{,}33) \approx41{,}4\times1{,}204\approx49{,}9\\ \Omega,
ou seja, praticamente 50\\ \Omega.

Resposta

Concluímos um projeto válido:
a) diâmetro do condutor central 2a\approx1{,}2\\ \mathrm{mm} (logo a\approx0{,}6\\ \mathrm{mm});
b) raio interno do condutor externo b=2\\ \mathrm{mm}.

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