Para o cabo coaxial de raio interno a e raio externo b, admita que a casca cilíndrica condutora de raio b tenha espessura t \gg \delta_{s}. Admita também que a \gg \delta_{s}.
(a) Determine a indutância interna por unidade de comprimento L_{l} devido à energia magnética armazenada no interior dos dois condutores. Admita que cada condutor tenha permeabilidade magnética \mu_{0}.
sugestão: utilize a relação W_{M}=(1 / 4)\left(L_{l} \Delta z\right) I^{2}, em que W_{M} é a energia magnética total armazenada nos dois condutores e I é a corrente em um dos condutores. Admita que o campo magnético em cada condutor decaia de seu valor máximo na interface na forma e^{-i u / \delta_{s}} e^{-u / \delta_{s}}, em que u é a coordenada normal para o interior do condutor medida a partir de sua interface com o meio de preenchimento. Em calculo das integrais em u, assuma válidas as condições t \gg \delta_{s} e a \gg \delta_{s} de forma a poder estender o limite superior de cada integral para u \longrightarrow \infty.
(b) Mostre que L_{l}=R_{l} / \omega, em que R_{l} é a resistência elétrica por unidade de comprimento do cabo coaxial.
Passo 1
O enunciado pede a indutância interna por unidade de comprimento L_{l} de um cabo coaxial de raio interno a e raio externo b, levando em conta a energia magnética armazenada dentro dos condutores, sob efeito de skin depth \delta_{s}. Usaremos:
– O campo magnético no interior de cada condutor decai como
H(u)=H_{s}\,e^{-u/\delta_{s}},
em que u é a distância medida a partir da superfície interna de cada condutor;
– A densidade de energia magnética
w_{M}=\frac{\mu_{0}}{2}\,\bigl|H(u)\bigr|^{2};
– A relação sugerida
W_{M}=\frac{1}{4}\,L_{l}\,\Delta z\,I^{2},
em que W_{M} é a energia total armazenada nos dois condutores de comprimento \Delta z e I é a corrente em cada condutor.
Passo 2
Calculemos a energia armazenada num condutor de raio r por unidade de comprimento (tomando \Delta z=1). No interior desse condutor, na região 0\le u<\infty,