1.11.5 Por analogia com a definição integral de gradiente, divergência e rotacional da Seção 1.10, mostre que
\nabla^{2} \varphi=\lim _{\int d \tau \rightarrow 0} \frac{\int \nabla \varphi \cdot d \boldsymbol{\sigma}}{\int d \tau}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a operação de Laplace em um escalar \varphi,
ou seja \nabla^2\varphi, pode ser obtida como o fluxo de seu gradiente \nabla\varphi por unidade de volume, no limite em que o volume tende a zero:
\nabla^{2} \varphi = \lim_{\int d\tau \to 0} \frac{\displaystyle \int \nabla\varphi \;\cdot d\boldsymbol\sigma} {\displaystyle \int d\tau}.
Vamos usar a definição integral de divergência e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Definição integral de divergência: para um campo vetorial \mathbf{A},
\begin{aligned} \text{div}\,\mathbf{A} &=\nabla\cdot\mathbf{A} =\lim_{\int d\tau\to 0} \frac{\displaystyle \oint_{\partial V}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol\sigma} {\displaystyle \int_{V}d\tau}\,, \end{aligned}
onde \partial V é a superfície que envolve o volume V.
O Teorema da Divergência (ou de Gauss) afirma:
\oint_{\partial V}\mathbf{A}\cdot d\boldsymbol\sigma =\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{A}\;d\tau.

Passo 3

Escolhemos \mathbf{A}=\nabla\varphi.
Pelo Teorema da Divergência,
\oint_{\partial V}\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol\sigma =\int_{V}\nabla\cdot(\nabla\varphi)\;d\tau =\int_{V}\nabla^{2}\varphi\;d\tau.

Passo 4

Agora dividimos ambos os lados por \int_{V}d\tau e tomamos o limite \int_{V}d\tau\to 0. À direita, a média de \nabla^2\varphi sobre V tende ao valor pontual \nabla^2\varphi. À esquerda, obtemos
o fluxo de \nabla\varphi por unidade de volume:
\nabla^{2}\varphi =\lim_{\int d\tau\to 0} \frac{\displaystyle \oint_{\partial V}\nabla\varphi\cdot d\boldsymbol\sigma} {\displaystyle \int_{V}d\tau}.

Resposta

\nabla^{2} \varphi =\lim_{\int d\tau\to 0} \frac{\displaystyle \int \nabla\varphi \cdot d\boldsymbol\sigma} {\displaystyle \int d\tau}.

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