n) \int \frac{1}{(x+a)(x+b)} d x
o) \int^{1} \frac{x^{3}}{2 x+1} d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
Pedido (n): Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx, onde a e b são constantes (assume-se a,b\in\mathbb{R}).
Pedido (o): Calcular a integral definida \displaystyle \int^{1} \frac{x^{3}}{2x+1}\,dx. Vou entender o enunciado como a integral no intervalo de \,0 até \,1, ou seja \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2x+1}\,dx (essa é a interpretação mais comum quando só aparece o limite superior).
Informações úteis que usarei (lembrando do que são e por que funcionam):
Decomposição em frações parciais: se uma função racional tem denominador fatorável em fatores lineares distintos, pode-se escrever como soma de frações simples e integrar cada uma.
Regra básica de integração: \displaystyle \int \frac{1}{x+c}\,dx=\ln|x+c|+C.
Regra de potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
Integral do tipo \displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.
Passo 2
Resolver (n): preparar a decomposição em frações parciais.
Queremos decompor
\frac{1}{(x+a)(x+b)}
em soma de termos da forma \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}, isto é:
\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}.
Essa identidade vale para todo x (exceto x=-a,-b). Multiplicando ambos os lados por (x+a)(x+b) obtemos a igualdade polinomial
1 = A(x+b)+B(x+a).
Passo 3
Determinar A e B resolvendo a igualdade polinomial.
Observação sobre caso especial: se a=b o denominador é (x+a)^2 e a decomposição acima não vale (pois pressupõe fatores distintos). Esse caso será tratado separadamente.
Se a\neq b: \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx=\frac{1}{b-a}\ln\!\left|\frac{x+a}{x+b}\right|+C.
Se a=b: \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)^2}\,dx=-\frac{1}{x+a}+C.
Passo 6
Resolver (o): primeiro faça a divisão polinomial de \dfrac{x^3}{2x+1} para simplificar a integral.
Queremos escrever
\frac{x^{3}}{2x+1}=Q(x)+\frac{R}{2x+1},
onde Q(x) é um polinômio (grau 2) e R é constante. Fazendo a divisão:
Escolher o primeiro termo do quociente: multiplicador \frac{1}{2}x^{2} pois (2x+1)\cdot\frac{1}{2}x^{2}=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}.
Subtraindo obtemos resto -\frac{1}{2}x^{2}+0x+0.
Próximo termo do quociente: -\frac{1}{4}x pois (2x+1)\cdot\left(-\frac{1}{4}x\right)=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x.
Subtraindo obtemos resto \frac{1}{4}x+0.
Próximo termo do quociente: \frac{1}{8} pois (2x+1)\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}.
Subtraindo obtemos resto -\frac{1}{8}.