11 - Calcule as integrais abaixo:
n) \int \frac{1}{(x+a)(x+b)} d x
o) \int^{1} \frac{x^{3}}{2 x+1} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • Pedido (n): Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx, onde a e b são constantes (assume-se a,b\in\mathbb{R}).
  • Pedido (o): Calcular a integral definida \displaystyle \int^{1} \frac{x^{3}}{2x+1}\,dx. Vou entender o enunciado como a integral no intervalo de \,0 até \,1, ou seja \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2x+1}\,dx (essa é a interpretação mais comum quando só aparece o limite superior).
Informações úteis que usarei (lembrando do que são e por que funcionam):
  • Decomposição em frações parciais: se uma função racional tem denominador fatorável em fatores lineares distintos, pode-se escrever como soma de frações simples e integrar cada uma.
  • Regra básica de integração: \displaystyle \int \frac{1}{x+c}\,dx=\ln|x+c|+C.
  • Regra de potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
  • Integral do tipo \displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C.

Passo 2

Resolver (n): preparar a decomposição em frações parciais.
Queremos decompor
\frac{1}{(x+a)(x+b)}
em soma de termos da forma \dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}, isto é:
\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{A}{x+a}+\frac{B}{x+b}.
Essa identidade vale para todo x (exceto x=-a,-b). Multiplicando ambos os lados por (x+a)(x+b) obtemos a igualdade polinomial
1 = A(x+b)+B(x+a).

Passo 3

Determinar A e B resolvendo a igualdade polinomial.
Método direto (substituições que anulam termos):
  • Se x=-a então 1 = A(-a+b)+B\cdot0, logo
A=\frac{1}{b-a}.
  • Se x=-b então 1 = A\cdot0 + B(-b+a), logo
B=\frac{1}{a-b}=-\frac{1}{b-a}.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\cdot\frac{1}{x+a}-\frac{1}{b-a}\cdot\frac{1}{x+b}.
Observação sobre caso especial: se a=b o denominador é (x+a)^2 e a decomposição acima não vale (pois pressupõe fatores distintos). Esse caso será tratado separadamente.

Passo 4

Integrar a expressão obtida (caso a\neq b).
Temos
\int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx =\frac{1}{b-a}\int\frac{1}{x+a}\,dx-\frac{1}{b-a}\int\frac{1}{x+b}\,dx.
Usando \displaystyle \int\frac{1}{x+c}\,dx=\ln|x+c|+C, obtemos
\int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx =\frac{1}{b-a}\ln|x+a|-\frac{1}{b-a}\ln|x+b|+C.
Podemos juntar os logaritmos:
\int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx =\frac{1}{b-a}\ln\!\left|\frac{x+a}{x+b}\right|+C.

Passo 5

Tratar o caso especial a=b.
Se a=b então a integral é
\int \frac{1}{(x+a)^2}\,dx.
Usando a regra de potência com n=-2:
\int (x+a)^{-2}\,dx = \frac{(x+a)^{-1}}{-1}+C = -\frac{1}{x+a}+C.
Resumo para (n):
  • Se a\neq b: \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx=\frac{1}{b-a}\ln\!\left|\frac{x+a}{x+b}\right|+C.
  • Se a=b: \displaystyle \int \frac{1}{(x+a)^2}\,dx=-\frac{1}{x+a}+C.

Passo 6

Resolver (o): primeiro faça a divisão polinomial de \dfrac{x^3}{2x+1} para simplificar a integral.
Queremos escrever
\frac{x^{3}}{2x+1}=Q(x)+\frac{R}{2x+1},
onde Q(x) é um polinômio (grau 2) e R é constante. Fazendo a divisão:
  1. Escolher o primeiro termo do quociente: multiplicador \frac{1}{2}x^{2} pois (2x+1)\cdot\frac{1}{2}x^{2}=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}.
    Subtraindo obtemos resto -\frac{1}{2}x^{2}+0x+0.
  2. Próximo termo do quociente: -\frac{1}{4}x pois (2x+1)\cdot\left(-\frac{1}{4}x\right)=-\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x.
    Subtraindo obtemos resto \frac{1}{4}x+0.
  3. Próximo termo do quociente: \frac{1}{8} pois (2x+1)\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}.
    Subtraindo obtemos resto -\frac{1}{8}.
Assim o quociente é
Q(x)=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8},
e o resto é R=-\frac{1}{8}. Portanto
\frac{x^{3}}{2x+1}=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2x+1}.

Passo 7

Integrar termo a termo e aplicar os limites de 0 a 1.
Primeiro escrever a integral usando a expressão da divisão:
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2x+1}\,dx =\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2x+1}\right)\,dx.
Integrando cada termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}x^{2}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{1}{6}x^{3}.
  • \displaystyle \int -\frac{1}{4}x\,dx=-\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{2}}{2}=-\frac{1}{8}x^{2}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{8}\,dx=\frac{1}{8}x.
  • Para o último termo, usar \displaystyle \int \frac{1}{2x+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|2x+1|. Então
\int -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2x+1}\,dx = -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2}\ln|2x+1| = -\frac{1}{16}\ln|2x+1|.
Portanto uma primitiva é
F(x)=\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x-\frac{1}{16}\ln|2x+1|.
Avaliar de 0 a 1:
  • F(1)=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\ln 3 = \frac{1}{6}-\frac{1}{16}\ln 3 (os termos -\frac{1}{8} e +\frac{1}{8} cancelam).
  • F(0)=0-0+0-\frac{1}{16}\ln 1 = 0 pois \ln 1=0.
Logo
\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2x+1}\,dx = F(1)-F(0)=\frac{1}{6}-\frac{1}{16}\ln 3.
Opcionalmente pode-se escrever com denominador comum:
\frac{1}{6}-\frac{1}{16}\ln 3=\frac{1}{48}\bigl(8-3\ln 3\bigr),
mas ambas as formas estão corretas.

Resposta

n) \displaystyle \text{Se }a\neq b:\\ \int \frac{1}{(x+a)(x+b)}\,dx=\frac{1}{b-a}\ln\!\left|\frac{x+a}{x+b}\right|+C.
n) \displaystyle \text{Se }a=b:\\ \int \frac{1}{(x+a)^2}\,dx=-\frac{1}{x+a}+C.
o) \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2x+1}\,dx=\frac{1}{6}-\frac{1}{16}\ln 3.

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