11 - Calcule as integrais abaixo:
c) \int \cos (\ln x) d x
d) \int \underline{\ln x} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de duas integrais indefinidas. As integrais são:
  • (c) \displaystyle \int \cos(\ln x)\,dx.
  • (d) \displaystyle \int \ln x\,dx.
Observação importante: como aparece \ln x, estamos assumindo x>0 (domínio natural do logaritmo real).

Passo 2

Vamos resolver (c). Estratégia: substituir a parte \ln x por uma nova variável para simplificar a função. Faça a substituição
u=\ln x.
Derivando ambos os lados com respeito a x obtemos
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\quad\Rightarrow\quad dx = x\,du.
Como x = e^{u} (porque u=\ln x), temos dx = e^{u}\,du. Substituindo na integral original:
\int \cos(\ln x)\,dx = \int \cos(u)\,e^{u}\,du.
Definimos
I=\int e^{u}\cos u\,du.

Passo 3

Para calcular I=\displaystyle\int e^{u}\cos u\,du usamos integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula da integração por partes:
\int U\,dV = U V - \int V\,dU,
onde U e dV são escolhidos a partir do integrando.
Escolhemos primeiro U=e^{u} e dV=\cos u\,du. Então
dU=e^{u}\,du,\qquad V=\sin u.
Aplicando a fórmula:
I = e^{u}\sin u - \int \sin u \, e^{u}\,du.
Chamemos a nova integral de
J=\int e^{u}\sin u\,du.
Assim I = e^{u}\sin u - J.

Passo 4

Agora calculamos J por partes também. Para J=\int e^{u}\sin u\,du escolhemos U=e^{u} e dV=\sin u\,du. Então
dU=e^{u}\,du,\qquad V=-\cos u.
Aplicando integração por partes:
J = e^{u}(-\cos u) - \int (-\cos u)\,e^{u}\,du = -e^{u}\cos u + \int e^{u}\cos u\,du.
Mas a última integral é exatamente I. Portanto
J = -e^{u}\cos u + I.

Passo 5

Substitua J em I = e^{u}\sin u - J:
I = e^{u}\sin u - \bigl(-e^{u}\cos u + I\bigr) = e^{u}\sin u + e^{u}\cos u - I.
Reorganizando:
2I = e^{u}(\sin u + \cos u),
portanto
I = \frac{e^{u}}{2}\bigl(\sin u + \cos u\bigr) + C,
onde C é constante de integração. Voltando à variável x (lembre que u=\ln x e e^{u}=x):
\int \cos(\ln x)\,dx = \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x) + \cos(\ln x)\bigr) + C.

Passo 6

Agora resolvemos (d): \displaystyle \int \ln x\,dx. A técnica padrão é integração por partes. Escolhemos
U=\ln x,\qquad dV=dx.
Então
dU=\frac{1}{x}\,dx,\qquad V=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx.
Então
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (como checar na prova): derive as respostas encontradas para confirmar que recupera os integrandos.
  • Para (c): derivando \dfrac{x}{2}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x)) usando regra do produto e cadeia recupera \cos(\ln x).
  • Para (d): derivando x\ln x - x obtém \ln x.

Resposta

\displaystyle \int \cos(\ln x)\,dx = \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln x) + \cos(\ln x)\bigr) + C
\displaystyle \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C

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