11 - Calcule as integrais abaixo:
c)
d)
d)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de duas integrais indefinidas. As integrais são:
- (c)
. - (d)
.
Observação importante: como aparece
, estamos assumindo
(domínio natural do logaritmo real).
Passo 2
Vamos resolver (c). Estratégia: substituir a parte
por uma nova variável para simplificar a função. Faça a substituição
Derivando ambos os lados com respeito a
obtemos
Como
(porque
), temos
. Substituindo na integral original:
Definimos
Passo 3
Para calcular
usamos integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula da integração por partes:
onde
e
são escolhidos a partir do integrando.
Escolhemos primeiro
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Chamemos a nova integral de
Assim
.
Passo 4
Agora calculamos
por partes também. Para
escolhemos
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Mas a última integral é exatamente
. Portanto
Passo 5
Substitua
em
:
Reorganizando:
portanto
onde
é constante de integração. Voltando à variável
(lembre que
e
):
Passo 6
Agora resolvemos (d):
. A técnica padrão é integração por partes. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Então
onde
é constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (como checar na prova): derive as respostas encontradas para confirmar que recupera os integrandos.
- Para (c): derivando
usando regra do produto e cadeia recupera . - Para (d): derivando
obtém .