12.35 Um bocal convergente-divergente, com área de garganta de 2 \mathrm{in}^{2}, está conectado a um grande tanque no qual o ar é mantido a uma pressão de 80 psia e a uma temperatura de 60^{\circ} \mathrm{F}. Sabendo que o bocal deve operar nas condições de projeto (o escoamento é isoentrópico) e que a pressão ambiente fora do bocal é 12,9 psia, calcule a área de saída do bocal e a vazão mássica.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com cuidado):
  • Dados do reservatório (tanque grande, isto é, propriedades de estagnação):
    • Pressão total (estagnação): P_0 = 80\\ \mathrm{psia}.
    • Temperatura total (estagnação): T_0 = 60^\circ\mathrm{F}.
  • Geometria:
    • Área da garganta (área crítica / área sônica): A^* = 2\\ \mathrm{in}^2.
  • Condição ambiente (pressão de saída esperada/externa):
    • Pressão ambiente (pressão de saída, porque o escoamento está “projeto”): P_e = 12{,}9\\ \mathrm{psia}.
  • Hipótese do problema:
    • Escoamento isoentrópico (isto éentão usar as relações de gás ideal para escoamento isentrópico, sem perdas).
  • O que é pedido:
    1. Calcular a área de saída do bocal A_e.
    2. Calcular a vazão mássica \dot m.
Observação: vou usar propriedades do ar como gás perfeito com \gamma=1{,}4 e R=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} quando fizer contas em SI. Vou converter unidades (psi → Pa, in^2 → m^2, °F → K) para garantir consistência nas fórmulas. A resolução começa agora.

Passo 2

Primeira ideia física: determinar se a garganta está sônica (escoamento estrangado). Para um bocal convergente-divergente com reservatório a P_0, quando a razão P_e/P_0 é menor que a razão crítica para M=1 na garganta o escoamento fica sônico na garganta (choked). A razão de pressão crítica para M=1 vale, para escoamento isentrópico,
\frac{P^*}{P_0} = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}.
Aqui P^* é a pressão na posição onde M=1 (na garganta). Se P_e/P_0 < P^*/P_0 então a garganta é sônica e a vazão mássica é determinada pela condição sônica na garganta (não depende diretamente de P_e). Vou calcular essa razão crítica e comparar com P_e/P_0.
Cálculo numérico da razão crítica com \gamma=1{,}4:
\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} = \left(\frac{2}{2{,}4}\right)^{1{,}4/0{,}4} = (0{,}8333333)^{3{,}5}\approx 0{,}528.
Agora a razão real:
\frac{P_e}{P_0}=\frac{12{,}9}{80}=0{,}16125.
Como 0{,}16125 < 0{,}528, a garganta fica sônica (escoamento estrangado). Portanto o bocal opera em regime choked — a garganta está em M=1. Isso confirma que o escoamento na seção divergente será supersônico e a pressão de saída P_e pode ser obtida por relações isentrópicas correspondendo a um M_e>1. Conclusão: usar relações isentrópicas para obter M_e a partir de P_e/P_0, usar a fórmula área–Mach para obter A_e/A^* e usar a expressão da vazão mássica choked (determinado por A^*,P_0,T_0) para \dot m.

Passo 3

Encontrar o número de Mach na saída M_e a partir da relação isentrópica de pressão:
\frac{P_e}{P_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2\right)^{-\gamma/(\gamma-1)}.
Isolando M_e dá a forma prática
M_e=\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\left[\left(\frac{P_0}{P_e}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}-1\right]}.
Agora os números. Primeiro converto pressões para razão (já em psi é suficiente para a razão), e vou calcular numericamente com \gamma=1{,}4:
\frac{P_0}{P_e}=\frac{80}{12{,}9}\approx 6{,}20155.
O expoente é (\gamma-1)/\gamma=0{,}4/1{,}4=0{,}285714\ldots. Então
\left(\frac{P_0}{P_e}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\approx 6{,}20155^{0{,}285714}\approx 1{,}68401.
Logo
M_e=\sqrt{\frac{2}{0{,}4}\left(1{,}68401-1\right)} =\sqrt{5\cdot 0{,}68401} =\sqrt{3{,}42006}\approx 1{,}849.
Portanto a saída tem M_e\approx 1{,}849 (supersônico, como esperado).

Passo 4

Agora uso a relação área–Mach (relação isentrópica) que dá a razão A/A^* em função de M:
\frac{A}{A^*}=\frac{1}{M}\left[\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)\right]^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}.
Aqui A^* é a área crítica (na garganta) — no nosso caso A^*=A_t. Vou calcular a razão A_e/A^* com M=M_e.
Calcule os termos numéricos com \gamma=1{,}4 e M_e\approx 1{,}849:
  • \displaystyle 1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2=1+0{,}2\cdot M_e^2=1+0{,}2\cdot 3{,}42006=1{,}68401.
  • \displaystyle \frac{2}{\gamma+1}=\frac{2}{2{,}4}=0{,}8333333.
    Multiplicando:
\frac{2}{\gamma+1}\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M_e^2\right)=0{,}8333333\cdot 1{,}68401\approx 1{,}40334.
O expoente é
\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}=\frac{2{,}4}{2\cdot 0{,}4}=3{,}0.
Então
\left[1{,}40334\right]^{3}=2{,}7635\\ (\text{aprox}).
Finalmente
\frac{A_e}{A^*}=\frac{1}{M_e}\cdot 2{,}7635=\frac{2{,}7635}{1{,}849}\approx 1{,}4949.
Como A^*=2\\ \mathrm{in}^2, temos
A_e = 1{,}4949\cdot 2\\ \mathrm{in}^2 \approx 2{,}9898\\ \mathrm{in}^2.
Arredondando com razoável precisão: A_e\approx 2{,}99\\ \mathrm{in}^2.

Passo 5

Agora vou calcular a vazão mássica \dot m. Pelo fato de a garganta estar sônica (choked), a vazão mássica é dada pela fórmula padrão (escrita em termos de A^*,P_0,T_0):
\dot m = A^* P_0 \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}.
Explicando a fórmula de forma simples: a velocidade na garganta é a velocidade do som local (pois M=1), a densidade na garganta vem das relações isentrópicas a partir de P_0,T_0; ao juntar densidade × velocidade × área chega-se à expressão acima. Nessa fórmula:
  • A^* em \mathrm{m}^2,
  • P_0 em \mathrm{Pa},
  • T_0 em \mathrm{K},
  • R em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
  • resultado \dot m em \mathrm{kg/s}.
Para evitar erros de unidade, faço a conta em SI e depois converto para \mathrm{lbm/s} (já que dados iniciais estavam em in/psi):
Conversões e valores:
  • A^*=2\\ \mathrm{in}^2 = 2\cdot(0{,}0254\\ \mathrm{m})^2 = 0{,}00129032\\ \mathrm{m}^2.
  • P_0=80\\ \mathrm{psia}=80\cdot6894{,}757\\ \mathrm{Pa}=551\,580{,}56\\ \mathrm{Pa}.
  • T_0=60^\circ\mathrm{F}=15{,}5556^\circ\mathrm{C}=288{,}7056\\ \mathrm{K}. (ou via Rankine: 519{,}67\\ \mathrm{R} \times5/9).
  • R=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • \gamma=1{,}4.
  • O fator termo \left(\dfrac{2}{\gamma+1}\right)^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}=(0{,}8333333)^{3}=0{,}5787037.
Agora calculo passo a passo:
\sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}}=\sqrt{\frac{1{,}4}{287{,}058\cdot 288{,}7056}} \approx 0{,}004106\\ \mathrm{(kg^{1/2}/(J^{1/2}\cdot s))\\ } \\ (\text{apenas o valor numérico importa aqui}).é
A^* P_0 = 0{,}00129032\cdot 551\,580{,}56 \approx 711{,}01.
Multiplicando tudo:
\dot m = 711{,}01\cdot 0{,}004106\cdot 0{,}5787037 \approx 1{,}689\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para \mathrm{lbm/s} ( 1\\ \mathrm{kg}=2{,}2046226\\ \mathrm{lbm}):
\dot m \approx 1{,}689\cdot 2{,}20462 \approx 3{,}72\\ \mathrm{lbm/s}.
Portanto a vazão mássica é \dot m\approx 1{,}689\\ \mathrm{kg/s} (ou \approx 3{,}72\\ \mathrm{lbm/s}).

Passo 6

Resumo dos resultados (valores finais com arredondamento apropriado):
  • Área de saída: A_e\approx 2{,}99\\ \mathrm{in}^2.
  • Vazão mássica: \dot m\approx 1{,}689\\ \mathrm{kg/s} (equivalente a \approx 3{,}72\\ \mathrm{lbm/s}).
Dicas rápidas para a prova (pra lembrar como fazer sem calculadora completa):
  • Verificar sempre se a garganta está choked comparando P_e/P_0 com \left(\dfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}.
  • Se choked: usar fórmula da área–Mach para achar A_e/A^* e a expressão da vazão mássica choked que depende só de A^*,P_0,T_0.
  • Lembre de converter unidades (in→m, psi→Pa, °F→K) antes de aplicar a fórmula da vazão mássica em SI, ou então use consistentemente as fórmulas em unidades inglesas incluindo o fator g_c.

Resposta

A_e \approx 2{,}99\\ \mathrm{in}^2
\dot m \approx 1{,}689\\ \mathrm{kg/s} (≈ 3{,}72\\ \mathrm{lbm/s})

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