12.35 Um bocal convergente-divergente, com área de garganta de 2 \mathrm{in}^{2}, está conectado a um grande tanque no qual o ar é mantido a uma pressão de 80 psia e a uma temperatura de 60^{\circ} \mathrm{F}. Sabendo que o bocal deve operar nas condições de projeto (o escoamento é isoentrópico) e que a pressão ambiente fora do bocal é 12,9 psia, calcule a área de saída do bocal e a vazão mássica.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo com cuidado):
Dados do reservatório (tanque grande, isto é, propriedades de estagnação):
Pressão total (estagnação): P_0 = 80\\ \mathrm{psia}.
Temperatura total (estagnação): T_0 = 60^\circ\mathrm{F}.
Geometria:
Área da garganta (área crítica / área sônica): A^* = 2\\ \mathrm{in}^2.
Condição ambiente (pressão de saída esperada/externa):
Pressão ambiente (pressão de saída, porque o escoamento está “projeto”): P_e = 12{,}9\\ \mathrm{psia}.
Hipótese do problema:
Escoamento isoentrópico (isto éentão usar as relações de gás ideal para escoamento isentrópico, sem perdas).
O que é pedido:
Calcular a área de saída do bocal A_e.
Calcular a vazão mássica \dot m.
Observação: vou usar propriedades do ar como gás perfeito com \gamma=1{,}4 e R=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} quando fizer contas em SI. Vou converter unidades (psi → Pa, in^2 → m^2, °F → K) para garantir consistência nas fórmulas. A resolução começa agora.
Passo 2
Primeira ideia física: determinar se a garganta está sônica (escoamento estrangado). Para um bocal convergente-divergente com reservatório a P_0, quando a razão P_e/P_0 é menor que a razão crítica para M=1 na garganta o escoamento fica sônico na garganta (choked). A razão de pressão crítica para M=1 vale, para escoamento isentrópico,
Aqui P^* é a pressão na posição onde M=1 (na garganta). Se P_e/P_0 < P^*/P_0 então a garganta é sônica e a vazão mássica é determinada pela condição sônica na garganta (não depende diretamente de P_e). Vou calcular essa razão crítica e comparar com P_e/P_0.
Cálculo numérico da razão crítica com \gamma=1{,}4:
Como 0{,}16125 < 0{,}528, a garganta fica sônica (escoamento estrangado). Portanto o bocal opera em regime choked — a garganta está em M=1. Isso confirma que o escoamento na seção divergente será supersônico e a pressão de saída P_e pode ser obtida por relações isentrópicas correspondendo a um M_e>1. Conclusão: usar relações isentrópicas para obter M_e a partir de P_e/P_0, usar a fórmula área–Mach para obter A_e/A^* e usar a expressão da vazão mássica choked (determinado por A^*,P_0,T_0) para \dot m.
Passo 3
Encontrar o número de Mach na saída M_e a partir da relação isentrópica de pressão:
Arredondando com razoável precisão: A_e\approx 2{,}99\\ \mathrm{in}^2.
Passo 5
Agora vou calcular a vazão mássica \dot m. Pelo fato de a garganta estar sônica (choked), a vazão mássica é dada pela fórmula padrão (escrita em termos de A^*,P_0,T_0):
\dot m = A^* P_0 \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{(\gamma+1)/(2(\gamma-1))}.
Explicando a fórmula de forma simples: a velocidade na garganta é a velocidade do som local (pois M=1), a densidade na garganta vem das relações isentrópicas a partir de P_0,T_0; ao juntar densidade × velocidade × área chega-se à expressão acima. Nessa fórmula:
A^* em \mathrm{m}^2,
P_0 em \mathrm{Pa},
T_0 em \mathrm{K},
R em \mathrm{J/(kg\cdot K)},
resultado \dot m em \mathrm{kg/s}.
Para evitar erros de unidade, faço a conta em SI e depois converto para \mathrm{lbm/s} (já que dados iniciais estavam em in/psi):
Dicas rápidas para a prova (pra lembrar como fazer sem calculadora completa):
Verificar sempre se a garganta está choked comparando P_e/P_0 com \left(\dfrac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}.
Se choked: usar fórmula da área–Mach para achar A_e/A^* e a expressão da vazão mássica choked que depende só de A^*,P_0,T_0.
Lembre de converter unidades (in→m, psi→Pa, °F→K) antes de aplicar a fórmula da vazão mássica em SI, ou então use consistentemente as fórmulas em unidades inglesas incluindo o fator g_c.