11^{\circ} ) Calcular a diferencial da função f(x, y, z)=x^{2} y z+2 x-2 y no ponto \left(2,1, \frac{3}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a diferencial de f(x,y,z)=x^{2}yz+2x-2y no ponto \bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\bigr). O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais e uso da definição de diferencial total.

Passo 2

Lembrando que a diferencial de f é dada por
\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x}\,\mathrm{d}x + \frac{\partial f}{\partial y}\,\mathrm{d}y + \frac{\partial f}{\partial z}\,\mathrm{d}z.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\,y\,z + 2, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2}z - 2, \quad \frac{\partial f}{\partial z} = x^{2}y.

Passo 4

Avaliando em \bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\bigr):
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\Bigr) =2\cdot2\cdot1\cdot\tfrac{3}{2}+2=6+2=8,
\frac{\partial f}{\partial y}\Bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\Bigr) =2^{2}\cdot\tfrac{3}{2}-2=6-2=4,
\frac{\partial f}{\partial z}\Bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\Bigr) =2^{2}\cdot1=4.

Passo 5

Substituindo na expressão da diferencial, obtemos
\mathrm{d}f\bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\bigr) =8\,\mathrm{d}x + 4\,\mathrm{d}y + 4\,\mathrm{d}z.

Resposta

\mathrm{d}f\bigl(2,1,\tfrac{3}{2}\bigr)=8\,\mathrm{d}x+4\,\mathrm{d}y+4\,\mathrm{d}z.

Exercícios relacionados