11^{\circ} ) Se \sum a_{n} é convergente e a_{n} \geq 0 para todo n \in \mathbb{N}. Mostre que
a) \sum a_{n} x^{n} é absolutamente convergente para todo x \in[-1,1].
b) Mostre que \sum a_{n} \operatorname{sen}(n x) e \sum a_{n} \cos (n x) são absolutamente convergentes para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado afirma que \sum a_{n} converge com a_{n}\ge0 para todo n. Precisamos mostrar:
a) \sum a_{n}x^{n} é absolutamente convergente em [-1,1].
b) \sum a_{n}\sin(nx) e \sum a_{n}\cos(nx) são absolutamente convergentes em \mathbb{R}.
O conteúdo usado será o teste de comparação para séries de termos não-negativos e as desigualdades \lvert x\rvert^n\le1 e \lvert\sin(nx)\rvert\le1, \lvert\cos(nx)\rvert\le1.

Passo 2

Para x\in[-1,1] temos \lvert x\rvert\le1, logo
\lvert a_n x^n\rvert = a_n\,\lvert x\rvert^n \le a_n.
Como \sum a_n converge, pelo teste de comparação segue que
\sum \lvert a_n x^n\rvert
converge, ou seja, \sum a_n x^n é absolutamente convergente em [-1,1].

Passo 3

Para qualquer x\in\mathbb{R} vale
\lvert\sin(nx)\rvert\le1,\quad \lvert\cos(nx)\rvert\le1,
portanto
\lvert a_n\sin(nx)\rvert \le a_n \quad\text{e}\quad \lvert a_n\cos(nx)\rvert \le a_n.
Como \sum a_n converge, novamente pelo teste de comparação seguem as convergências absolutas de \sum a_n\sin(nx) e de \sum a_n\cos(nx) em todo \mathbb{R}.

Resposta

a) \sum a_{n}x^{n} é absolutamente convergente para todo x\in[-1,1].
b) \sum a_{n}\sin(nx) e \sum a_{n}\cos(nx) são absolutamente convergentes para todo x\in\mathbb{R}.

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