) Se
é convergente e
para todo
. Mostre que
a)
é absolutamente convergente para todo
.
b) Mostre que
e
são absolutamente convergentes para todo
.
a)
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado afirma que
converge com
para todo
. Precisamos mostrar:
a) é absolutamente convergente em
.
b) e
são absolutamente convergentes em
.
O conteúdo usado será o teste de comparação para séries de termos não-negativos e as desigualdades e
,
.
a)
b)
O conteúdo usado será o teste de comparação para séries de termos não-negativos e as desigualdades
Passo 2
Para
temos
, logo
Como
converge, pelo teste de comparação segue que
converge, ou seja,
é absolutamente convergente em
.
Passo 3
Para qualquer
vale
portanto
Como
converge, novamente pelo teste de comparação seguem as convergências absolutas de
e de
em todo
.
Resposta
a)
é absolutamente convergente para todo
.
b) e
são absolutamente convergentes para todo
.
b)