12^{\circ} ) A série 1-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}+\frac{2}{4}-\frac{1}{4}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}+\cdots tem termos alternadamente positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. Por que isso não contradiz o Teorema de Leibniz?

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
1 - \tfrac12 + \tfrac23 - \tfrac13 + \tfrac24 - \tfrac14 + \tfrac25 - \tfrac15 + \cdots
cujo termo geral tende a zero, mas que diverge (na verdade ela soma blocos que reproduzem a série harmônica). Queremos entender por que isso não contradiz o Critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

O Critério de Leibniz diz que, se uma série \sum (-1)^{n-1}a_n satisfaz
  1. a_n>0 para todo n,
  2. (a_n) é monótona decrescente, ou seja a_{n+1}\le a_n,
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=0,
    então a série converge.

Passo 3

Na série dada temos termos de sinais alternados e de fato
\lim_{k\to\infty}u_k=0.
Porém é preciso checar a monotonia de \bigl|u_k\bigr|. Listando os primeiros valores de \bigl|u_k\bigr|:
\bigl|u_1\bigr|=1,
\bigl|u_2\bigr|=\tfrac12,
\bigl|u_3\bigr|=\tfrac23.
Observe que
\tfrac23 > \tfrac12,
ou seja, \bigl|u_3\bigr|>\bigl|u_2\bigr|. Logo a sequência de módulos não é decrescente.

Passo 4

Como a condição de monotonia é essencial no Critério de Leibniz, e aqui ela falha, não podemos aplicar o teorema. Por isso não há contradição: a série falha em um dos requisitos (monotonia dos a_n) e, de fato, diverge.

Resposta

Não contradiz o Teorema de Leibniz porque a condição de que os módulos dos termos formem uma sequência monótona decrescente não é satisfeita (por exemplo, \tfrac23>\tfrac12).

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