15^{\circ} ) Prove que se \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1 para uma infinidade de índices n, então \lim a_{n} \neq 0 e \sum a_{n} diverge.

Passo 1

O enunciado diz que existe uma infinidade de índices n tais que
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}\ge1.
O conteúdo que vamos usar é o teste necessário para convergência de séries: se \sum a_{n} converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty}a_{n}=0. Vamos mostrar que, sob a hipótese dada, \lim a_{n}\neq0 e, portanto, \sum a_{n} diverge.

Passo 2

Da desigualdade
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}\ge1
eleva-se ambos os lados à potência n (que é positiva), obtendo
\lvert a_{n}\rvert\ge1.
Isso vale para uma infinidade de índices n. Logo existe uma sub-sucessão (a_{n_k}) cuja norma satisfaz \lvert a_{n_k}\rvert\ge1 para todo k. Em particular, essa sub-sucessão não tende a zero, pois seus termos têm sempre módulo maior ou igual a 1.

Passo 3

Se uma sequência a_{n} tivesse limite zero, toda sub-sucessão também tenderia a zero. Mas vimos que (a_{n_k}) não tende a zero. Logo não é verdade que \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 4

Como condição necessária para a convergência de \sum a_{n} é que a_{n}\to0, e vimos que isso não ocorre, concluímos que
\sum a_{n}
não pode convergir.

Resposta

A sequência (a_{n}) não tende a zero e, portanto, a série \sum a_{n} diverge.

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