) Prove que se
para uma infinidade de índices
, então
e
diverge.
Passo 1
O enunciado diz que existe uma infinidade de índices
tais que
O conteúdo que vamos usar é o teste necessário para convergência de séries: se
converge, então necessariamente
. Vamos mostrar que, sob a hipótese dada,
e, portanto,
diverge.
Passo 2
Da desigualdade
eleva-se ambos os lados à potência
(que é positiva), obtendo
Isso vale para uma infinidade de índices
. Logo existe uma sub-sucessão
cuja norma satisfaz
para todo
. Em particular, essa sub-sucessão não tende a zero, pois seus termos têm sempre módulo maior ou igual a
.
Passo 3
Se uma sequência
tivesse limite zero, toda sub-sucessão também tenderia a zero. Mas vimos que
não tende a zero. Logo não é verdade que
.
Passo 4
Como condição necessária para a convergência de
é que
, e vimos que isso não ocorre, concluímos que
não pode convergir.
Resposta
A sequência
não tende a zero e, portanto, a série
diverge.