2-11 Considerando-se que á resistência elétrica do ar (isto é, o campo elétrico acima do qual o ar se torna condutor) seja 3 \times 10^{6} \mathrm{~V} / \mathrm{m}, (a) qual o potencial mais alto possível de um condutor esférico isolado de 10 cm de raio? (b) Qual seria o raio de um condutor esférico que pudesse manter 1 coulomb de carga?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo pegado diretamente do enunciado):
  • Dado: campo elétrico de ruptura do ar E_{\text{rupt}} = 3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • Dado: condutor esférico isolado de raio 10\\ \mathrm{cm} (ou seja R=0{,}10\\ \mathrm{m}).
  • Pergunta (a): qual o potencial mais alto possível (em relação ao infinito) desse condutor de raio 0{,}10\\ \mathrm{m} antes de o ar tornar-se condutor?
  • Pergunta (b): qual seria o raio R de um condutor esférico capaz de manter uma carga Q=1\\ \mathrm{C} sem que o ar se quebre (isto é, sem que o campo de superfície exceda E_{\text{rupt}})?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicando o que cada símbolo significa):
  • Uma esfera condutora isolada de raio R se comporta, externamente, como uma carga pontual Q no centro.
    O campo elétrico na superfície (módulo) é dado por E_{\text{surf}}=\frac{k\,Q}{R^{2}},onde E_{\text{surf}} é o campo elétrico imediatamente fora da superfície, Q é a carga total da esfera, R é o raio da esfera, e k é a constante eletrostática k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • O potencial da esfera em relação ao infinito (toda a massa de carga concentrada no centro) é V=\frac{k\,Q}{R},onde V é o potencial (em volts).
  • Condição de ruptura do ar: para não ionizar o ar em torno da esfera precisamos ter E_{\text{surf}}\le E_{\text{rupt}}.
Vou usar essas fórmulas para relacionar V, Q, R e E_{\text{rupt}}.

Passo 3

Relacionamento útil entre V, R e E_{\text{rupt}}:
Partindo de E_{\text{surf}}=\dfrac{kQ}{R^{2}} e V=\dfrac{kQ}{R}, podemos eliminar Q. Expressando Q a partir de E_{\text{surf}}:
Q=\frac{E_{\text{surf}}\,R^{2}}{k}.
Substituindo em V:
V=\frac{k}{R}\cdot\frac{E_{\text{surf}}\,R^{2}}{k}=E_{\text{surf}}\,R.
Isto mostra uma simplificação muito útil: o potencial máximo que a esfera pode atingir sem quebrar o ar é simplesmente o produto do campo de ruptura pelo raio:
V_{\max}=E_{\text{rupt}}\;R.
Observe que essa expressão não depende explicitamente de k nem de Q: para uma esfera isolada o limite de potencial é determinado pelo campo de superfície e pelo raio.

Passo 4

Cálculo da item (a) usando V_{\max}=E_{\text{rupt}}\,R:
  • Substituindo E_{\text{rupt}}=3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m} e R=0{,}10\\ \mathrm{m}:
V_{\max}=(3\times10^{6})\cdot(0{,}10)=3\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação: a esfera de 10\\ \mathrm{cm} de raio pode atingir, no máximo, cerca de 3\times10^{5}\\ \mathrm{V} (300 kV) antes que o ar ao redor comece a conduzir.

Passo 5

Cálculo da item (b): raio necessário para manter Q=1\\ \mathrm{C} sem ultrapassar E_{\text{rupt}}.
  • Usamos a condição de igualdade crítica E_{\text{surf}}=E_{\text{rupt}}, ou seja
\frac{k\,Q}{R^{2}}=E_{\text{rupt}}.
  • Isolando R:
R=\sqrt{\frac{k\,Q}{E_{\text{rupt}}}}.
  • Substituindo k\approx9{,}0\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}, Q=1\\ \mathrm{C} e E_{\text{rupt}}=3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}:
R=\sqrt{\frac{9{,}0\times10^{9}\cdot 1}{3\times10^{6}}} =\sqrt{3000}\\ \mathrm{m}.
  • Calculando a raiz:
\sqrt{3000}\approx 54{,}77\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: para que uma esfera possa suportar 1\\ \mathrm{C} sem provocar descarga no ar, ela teria de ter raio da ordem de dezenas de metros — aqui aproximadamente 5{,}5\times10^{1}\\ \mathrm{m} (cerca de 55\\ \mathrm{m}). Isso mostra por que armazenar cargas maciças no ar ambiente é difícil sem estruturas muito grandes ou isolamento especial.

Passo 6

Verificação rápida e intuição física:
  • Checagem para (b): com R\approx54{,}8\\ \mathrm{m},
E_{\text{surf}}=\frac{kQ}{R^{2}}\approx\frac{9\times10^{9}\cdot1}{(54{,}8)^{2}}\approx3\times10^{6}\\ \mathrm{V/m},
ou seja, bate com E_{\text{rupt}} como esperado.
  • Intuição: quanto maior a esfera, mais “espalhada” fica a carga e menor o campo na superfície; por isso um grande raio reduz o campo e evita a ruptura do ar.

Resposta

(a) 3\times10^{5}\\ \mathrm{V}
(b) 54{,}8\\ \mathrm{m}

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