2-11 Considerando-se que á resistência elétrica do ar (isto é, o campo elétrico acima do qual o ar se torna condutor) seja
, (a) qual o potencial mais alto possível de um condutor esférico isolado de 10 cm de raio? (b) Qual seria o raio de um condutor esférico que pudesse manter 1 coulomb de carga?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo pegado diretamente do enunciado):
- Dado: campo elétrico de ruptura do ar
. - Dado: condutor esférico isolado de raio
(ou seja ). - Pergunta (a): qual o potencial mais alto possível (em relação ao infinito) desse condutor de raio
antes de o ar tornar-se condutor? - Pergunta (b): qual seria o raio
de um condutor esférico capaz de manter uma carga sem que o ar se quebre (isto é, sem que o campo de superfície exceda )?
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (explicando o que cada símbolo significa):
- Uma esfera condutora isolada de raio
se comporta, externamente, como uma carga pontual no centro.
O campo elétrico na superfície (módulo) é dado poronde é o campo elétrico imediatamente fora da superfície, é a carga total da esfera, é o raio da esfera, e é a constante eletrostática - O potencial da esfera em relação ao infinito (toda a massa de carga concentrada no centro) é
onde é o potencial (em volts). - Condição de ruptura do ar: para não ionizar o ar em torno da esfera precisamos ter
Vou usar essas fórmulas para relacionar
,
,
e
.
Passo 3
Relacionamento útil entre
,
e
:
Partindo de
e
, podemos eliminar
. Expressando
a partir de
:
Substituindo em
:
Isto mostra uma simplificação muito útil: o potencial máximo que a esfera pode atingir sem quebrar o ar é simplesmente o produto do campo de ruptura pelo raio:
Observe que essa expressão não depende explicitamente de
nem de
: para uma esfera isolada o limite de potencial é determinado pelo campo de superfície e pelo raio.
Passo 4
Cálculo da item (a) usando
:
- Substituindo
e :
- Interpretação: a esfera de
de raio pode atingir, no máximo, cerca de (300 kV) antes que o ar ao redor comece a conduzir.
Passo 5
Cálculo da item (b): raio necessário para manter
sem ultrapassar
.
- Usamos a condição de igualdade crítica
, ou seja
- Isolando
:
- Substituindo
, e :
- Calculando a raiz:
- Interpretação: para que uma esfera possa suportar
sem provocar descarga no ar, ela teria de ter raio da ordem de dezenas de metros — aqui aproximadamente (cerca de ). Isso mostra por que armazenar cargas maciças no ar ambiente é difícil sem estruturas muito grandes ou isolamento especial.
Passo 6
Verificação rápida e intuição física:
- Checagem para (b): com
,
ou seja, bate com
como esperado.
- Intuição: quanto maior a esfera, mais “espalhada” fica a carga e menor o campo na superfície; por isso um grande raio reduz o campo e evita a ruptura do ar.
Resposta
(a)
(b)