Qual é o módulo do campo elétrico no ponto (3,00 \hat{\imath}-2,00 \hat{\jmath}+4,00 \hat{k}) m se o potencial é dado por V=2,00 x y z^{3}, em que V está em volts e x, y e z estão em metros?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do campo elétrico no ponto \,(3{,}00\,\hat{\imath}-2{,}00\,\hat{\jmath}+4{,}00\,\hat{k})\\ \mathrm{m}\, dado o potencial \,V=2{,}00\,x\,y\,z^{3}\, (em volts, com x,y,z em metros).
Informações relevantes que temos:
  • Potencial: \,V(x,y,z)=2{,}00\,x\,y\,z^{3}\, (volts).
  • Ponto onde avaliar: \,x=3{,}00\\ \mathrm{m},\; y=-2{,}00\\ \mathrm{m},\; z=4{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Pedido: o módulo (norma) do vetor campo elétrico \mathbf{E} nesse ponto.

Passo 2

Regra que vamos usar: o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação
\mathbf{E} = -\nabla V,
onde o operador gradiente \nabla aplicado ao escalar V(x,y,z) dá as derivadas parciais:
\nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,,\;\frac{\partial V}{\partial y}\,,\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Explicando devagar: \frac{\partial V}{\partial x} significa derivar V em relação a x mantendo y e z fixos — é a taxa de variação de V quando só x muda. O campo elétrico tem unidades de volts por metro (\mathrm{V/m}) porque se toma uma derivada do potencial (volts) por distância (m). O sinal negativo indica que \mathbf{E} aponta na direção de queda do potencial.

Passo 3

Vamos calcular simbolicamente as derivadas parciais de V(x,y,z)=2{,}00\,x\,y\,z^{3}.
Aplicando a regra do produto e a regra da potência (derivada de z^{3} em relação a z é 3z^{2}):
\frac{\partial V}{\partial x}=2{,}00\;y\;z^{3},
\frac{\partial V}{\partial y}=2{,}00\;x\;z^{3},
\frac{\partial V}{\partial z}=2{,}00\;x\;y\cdot 3 z^{2}=6{,}00\;x\;y\;z^{2}.
Portanto o gradiente é
\nabla V=\bigl(2{,}00\,y\,z^{3},\;2{,}00\,x\,z^{3},\;6{,}00\,x\,y\,z^{2}\bigr).
E assim o campo elétrico é
\mathbf{E} = -\bigl(2{,}00\,y\,z^{3}\bigr)\,\hat{\imath}\;-\;\bigl(2{,}00\,x\,z^{3}\bigr)\,\hat{\jmath}\;-\;\bigl(6{,}00\,x\,y\,z^{2}\bigr)\,\hat{k}.

Passo 4

Agora avaliamos as componentes em \,x=3{,}00,\;y=-2{,}00,\;z=4{,}00\,. Primeiro calculemos z^{3} e z^{2}:
z^{3}=4{,}00^{3}=64,\qquad z^{2}=4{,}00^{2}=16.
Calcule \frac{\partial V}{\partial x} no ponto:
\frac{\partial V}{\partial x}\Big|_{\text{ponto}}=2{,}00\cdot(-2{,}00)\cdot64=-256.
Logo
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}\Big|_{\text{ponto}} = -(-256)=256\\ \mathrm{V/m}.
Calcule \frac{\partial V}{\partial y} no ponto:
\frac{\partial V}{\partial y}\Big|_{\text{ponto}}=2{,}00\cdot3{,}00\cdot64=384.
Logo
E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}\Big|_{\text{ponto}} = -384\\ \mathrm{V/m}.
Calcule \frac{\partial V}{\partial z} no ponto:
\frac{\partial V}{\partial z}\Big|_{\text{ponto}}=6{,}00\cdot3{,}00\cdot(-2{,}00)\cdot16= -576.
Logo
E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}\Big|_{\text{ponto}} = -(-576)=576\\ \mathrm{V/m}.
Portanto o vetor campo elétrico no ponto é
\mathbf{E}=(256\,\hat{\imath}-384\,\hat{\jmath}+576\,\hat{k})\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Para achar o módulo usamos a norma euclidiana em 3D (teorema de Pitágoras estendido):
\lVert\mathbf{E}\rVert=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}+E_z^{2}}.
Substituindo os valores:
\lVert\mathbf{E}\rVert=\sqrt{256^{2}+(-384)^{2}+576^{2}}.
Calcule os quadrados:
256^{2}=65\,536,\quad 384^{2}=147\,456,\quad 576^{2}=331\,776.
Soma:
65\,536+147\,456+331\,776=544\,768.
Portanto
\lVert\mathbf{E}\rVert=\sqrt{544\,768}=64\sqrt{133}\approx 738{,}08\\ \mathrm{V/m}.
Arredondando com três algarismos significativos (os dados tinham três algarismos), obtemos \,738\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

738\\ \mathrm{V/m}

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