Um bloco de madeira flutua na água com 0,646 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a densidade
do óleo.
do óleo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um bloco de madeira flutua na água com
do seu volume submerso. - O mesmo bloco, colocado em óleo, fica com
do seu volume submerso. - A pergunta é: determinar a densidade do óleo (
).
Informações implícitas que usarei (valor padrão):
- Densidade da água:
.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar: princípio de Arquimedes (empuxo). Vou explicar de forma simples e passo a passo.
- Um corpo flutuante está em equilíbrio quando seu peso é igual ao empuxo fornecido pelo fluido deslocado.
- Peso do bloco:
. Como , temos , onde: -
é a densidade da madeira, -
é o volume total do bloco, -
é a aceleração da gravidade (cancela depois, então não precisamos do seu valor numérico).
-
- Empuxo: é o peso do fluido deslocado, isto é
, onde: -
é a densidade do fluido (água ou óleo), -
é o volume do bloco submerso.
-
Equilíbrio implica:
Cancelando
e
e escrevendo a fração submersa
, obtemos a relação básica que vamos usar:
Aqui
é a fração do volume submerso (número entre 0 e 1).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso da água para achar a densidade da madeira em função da densidade da água.
- Na água a fração submersa é
. - Pela relação
, temos:
Passo 4
Agora aplico a mesma relação ao caso do óleo.
- No óleo a fração submersa é
. - Pela relação
, isolando :
Passo 5
Substituo
obtida no Passo 3 na expressão do Passo 4 e simplifico.
Faço a redução da fração
:
- Multiplicando numerador e denominador por
obtemos . - Observa-se que
e , logo a fração reduz para .
Portanto
Agora uso
:
Passo 6
Interpretação rápida (para motivar confiança): esse resultado faz sentido fisicamente porque o óleo é menos denso que a água, então o bloco precisa submergir uma fração maior (
) no óleo para equilibrar seu peso; isso leva a
.