Um bloco de madeira flutua na água com 0,646 do seu volume submerso. No óleo, 0,918 do seu volume fica submerso. Determine a densidade
do óleo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um bloco de madeira flutua na água com 0{,}646 do seu volume submerso.
  • O mesmo bloco, colocado em óleo, fica com 0{,}918 do seu volume submerso.
  • A pergunta é: determinar a densidade do óleo ( \rho_{\text{óleo}}ó).
Informações implícitas que usarei (valor padrão):
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}á.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar: princípio de Arquimedes (empuxo). Vou explicar de forma simples e passo a passo.
  • Um corpo flutuante está em equilíbrio quando seu peso é igual ao empuxo fornecido pelo fluido deslocado.
  • Peso do bloco: P = m_{\text{bloco}}\,g. Como m_{\text{bloco}}=\rho_{\text{bloco}} V, temos P=\rho_{\text{bloco}} V g, onde:
    • \rho_{\text{bloco}} é a densidade da madeira,
    • V é o volume total do bloco,
    • g é a aceleração da gravidade (cancela depois, então não precisamos do seu valor numérico).
  • Empuxo: é o peso do fluido deslocado, isto é E = m_{\text{fluido deslocado}} g = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} g, onde:
    • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (água ou óleo),
    • V_{\text{sub}} é o volume do bloco submerso.
Equilíbrio implica:
\rho_{\text{bloco}} V g = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} g.
Cancelando V e g e escrevendo a fração submersa f = V_{\text{sub}}/V, obtemos a relação básica que vamos usar:
\rho_{\text{bloco}} = \rho_{\text{fluido}} \, f.
Aqui f é a fração do volume submerso (número entre 0 e 1).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso da água para achar a densidade da madeira em função da densidade da água.
  • Na água a fração submersa é f_{\text{água}}=0{,}646á.
  • Pela relação \rho_{\text{bloco}} = \rho_{\text{água}}\, f_{\text{água}}áá, temos:
\rho_{\text{bloco}} = \rho_{\text{água}} \cdot 0{,}646.á

Passo 4

Agora aplico a mesma relação ao caso do óleo.
  • No óleo a fração submersa é f_{\text{óleo}}=0{,}918ó.
  • Pela relação \rho_{\text{bloco}} = \rho_{\text{óleo}} \, f_{\text{óleo}}óó, isolando \rho_{\text{óleo}}ó:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{\rho_{\text{bloco}}}{0{,}918}.ó

Passo 5

Substituo \rho_{\text{bloco}} obtida no Passo 3 na expressão do Passo 4 e simplifico.
\rho_{\text{óleo}} = \frac{\rho_{\text{bloco}}}{0{,}918} = \frac{0{,}646\,\rho_{\text{água}}}{0{,}918} = \left(\frac{0{,}646}{0{,}918}\right)\rho_{\text{água}}.óáá
Faço a redução da fração \dfrac{0{,}646}{0{,}918}:
  • Multiplicando numerador e denominador por 1000 obtemos \dfrac{646}{918}.
  • Observa-se que 646=17\cdot 38 e 918=17\cdot 54, logo a fração reduz para \dfrac{38}{54}=\dfrac{19}{27}.
Portanto
\rho_{\text{óleo}} = \frac{19}{27}\,\rho_{\text{água}}.óá
Agora uso \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{19}{27}\times 1000\\ \mathrm{kg/m^3} \approx 703{,}704\\ \mathrm{kg/m^3}.ó

Passo 6

Interpretação rápida (para motivar confiança): esse resultado faz sentido fisicamente porque o óleo é menos denso que a água, então o bloco precisa submergir uma fração maior ( 0{,}918) no óleo para equilibrar seu peso; isso leva a \rho_{\text{óleo}}<\rho_{\text{água}}óá.

Resposta

\rho_{\text{óleo}} = 703{,}704\\ \mathrm{kg/m^3}ó

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