11 Considere um cilindro supercondutor circular, infinitamente longo, de raio
, em um campo magnético transversal. O campo é uniforme e de módulo
a grandes distâncias do cilindro. Calcule os campos dentro e fora do cilindro e a densidade de corrente dentro do cilindro e na sua superfície. Suponha que as propriedades supercondutoras são representadas pelo diamagnetismo perfeito e pela condutividade perfeita. Compare as duas formulações equivalentes.
Passo 1
O problema é um cilindro supercondutor infinito de raio
imerso em um campo magnético uniforme
aplicado perpendicularmente ao eixo. Vamos usar magnetostática e explorar duas formulações equivalentes:
- Supercondutor como meio de diamagnetismo perfeito
. - Supercondutor como condutor de condutividade perfeita (
, logo no interior).
Precisamos acharem e em , e a densidade de corrente volumétrica e superficial.
Passo 2
Formulação por diamagnetismo perfeito
.
- Dentro
vale . - Fora
derivase de um potencial escalar tal que e, em coordenadas cilíndricas polares , impondo
a)quando
b) continuidade deem e anulação de
obtemos
e, portanto, em
,
Em
:
Passo 3
Densidade de corrente na formulação diamagnética.
Como não há corrente volumétrica em regiões onde é solução de
, temos
para
.
Na superfície , há descontinuidade da componente tangencial de
, com
,
.
A corrente superficial é
Como não há corrente volumétrica em regiões onde
Na superfície
A corrente superficial é
Como
logo
Passo 4
Formulação por condutividade perfeita
.
Em regime estacionário, no interior e não há penetração de
, logo
. Fora do cilindro,
e
levam à mesma equação de Laplace do passo anterior, produzindo idênticos
.
Ampère em contorno mostra exatamente a mesma corrente superficial .
Portanto, ambos os modelos dão resultados idênticos em magnetostática.
Em regime estacionário,
Ampère em contorno mostra exatamente a mesma corrente superficial
Portanto, ambos os modelos dão resultados idênticos em magnetostática.
Resposta
Em coordenadas cilíndricas
com cilindro de raio
e campo
ao infinito na direção
:
(a) Para
:
(b) Para
:
(c) Corrente superficial em
:
Ambas as formulações (diamagnetismo perfeito e condutividade perfeita) produzem estes mesmos campos e correntes em regime estático.