11 Considere um cilindro supercondutor circular, infinitamente longo, de raio a, em um campo magnético transversal. O campo é uniforme e de módulo B_{0} a grandes distâncias do cilindro. Calcule os campos dentro e fora do cilindro e a densidade de corrente dentro do cilindro e na sua superfície. Suponha que as propriedades supercondutoras são representadas pelo diamagnetismo perfeito e pela condutividade perfeita. Compare as duas formulações equivalentes.

Passo 1

O problema é um cilindro supercondutor infinito de raio a imerso em um campo magnético uniforme \,B_{0}\, aplicado perpendicularmente ao eixo. Vamos usar magnetostática e explorar duas formulações equivalentes:
  1. Supercondutor como meio de diamagnetismo perfeito \mu_{\rm in}=0.
  2. Supercondutor como condutor de condutividade perfeita ( \sigma\to\infty, logo E=0 no interior).
    Precisamos achar \mathbf B em r<a e em r>a, e a densidade de corrente volumétrica e superficial.

Passo 2

Formulação por diamagnetismo perfeito \mu_{\rm in}=0.
  1. Dentro r<a vale \mathbf B_{\rm in}=0.
  2. Fora r>a \mathbf B derivase de um potencial escalar \varphi tal que \nabla^2\varphi=0 e, em coordenadas cilíndricas polares (r,\theta), impondo
    a) \varphi\to -B_{0}\,r\cos\theta quando r\to\infty
    b) continuidade de B_{n} em r=a e anulação de \mathbf B_{\rm in}
    obtemos
\phi_{\rm out} = -B_{0}\Bigl(r - \frac{a^2}{r}\Bigr)\cos\theta
e, portanto, em r>a,
B_{r} = B_{0}\Bigl(1 - \frac{a^2}{r^2}\Bigr)\cos\theta, \qquad B_{\theta} = -\,B_{0}\Bigl(1 + \frac{a^2}{r^2}\Bigr)\sin\theta.
Em r<a:
\mathbf B_{\rm in} = 0\,.

Passo 3

Densidade de corrente na formulação diamagnética.
Como não há corrente volumétrica em regiões onde \mathbf B é solução de \nabla\times\mathbf H=0, temos J_{\rm vol}=0 para r\neq a.
Na superfície r=a, há descontinuidade da componente tangencial de \mathbf H, com \mathbf H_{\rm out}=\mathbf B_{\rm out}/\mu_{0}, \mathbf H_{\rm in}=0.
A corrente superficial é
\mathbf K = \mathbf n\times(\mathbf H_{\rm out}-\mathbf H_{\rm in}) = r_{\!}\!\hat{ }\times H_{\theta}(r=a)\,\theta_{\!}\!\hat{ } = H_{\theta}(a)\,\hat z.
Como
H_{\theta}(a)=\frac{B_{\theta}(a)}{\mu_{0}} =-\frac{2B_{0}}{\mu_{0}}\sin\theta,
logo
\mathbf K(\theta) =-\frac{2B_{0}}{\mu_{0}}\sin\theta\;\hat z.

Passo 4

Formulação por condutividade perfeita \sigma\to\infty.
Em regime estacionário, E=0 no interior e não há penetração de \mathbf B, logo \mathbf B_{\rm in}=0. Fora do cilindro, \nabla\cdot\mathbf B=0 e \nabla\times\mathbf B=0 levam à mesma equação de Laplace do passo anterior, produzindo idênticos \mathbf B_{\rm out}.
Ampère em contorno mostra exatamente a mesma corrente superficial \mathbf K.
Portanto, ambos os modelos dão resultados idênticos em magnetostática.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta) com cilindro de raio a e campo B_{0} ao infinito na direção \theta=0:
(a) Para r<a:
\mathbf B_{\rm in}=0, \qquad J_{\rm vol}=0.
(b) Para r>a:
B_{r}=B_{0}\Bigl(1-\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta, \quad B_{\theta}=-B_{0}\Bigl(1+\frac{a^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta.
(c) Corrente superficial em r=a:
\mathbf K(\theta) =-\frac{2\,B_{0}}{\mu_{0}}\sin\theta\;\hat z.
Ambas as formulações (diamagnetismo perfeito e condutividade perfeita) produzem estes mesmos campos e correntes em regime estático.

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