13 Um capacitor de placas paralelas, com placas em forma de discos circulares, tem a região entre auas placas preenchida por um dielétrico de permitividade
. O dielétrico é imperfeito, possuindo uma condutividade
. A capacidade do capacitor é
. O capacitor é carregado até uma diferença de potencial
e isolado. (a) Encontre a carga sobre o capacitor como função do tempo. (b) Encontre a corrente de deslocamento no dielétrico. (c) Encontre o campo magnético no dielétrico.
Passo 1
O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas, área de cada placa
, separação
, preenchido por um dielétrico de permitividade
e condutividade
. A capacitância é
e o dielétrico permite uma corrente de condução
. O capacitor é carregado até diferença de potencial
e depois isolado, de modo que a descarga ocorre pela condutividade do dielétrico. Vamos modelar isso como um circuito RC em paralelo e usar as equações de Maxwell para achar a carga
, a corrente de deslocamento e o campo magnético.
Passo 2
Primeiro, identificamos a resistência efetiva do dielétrico entre as placas. A condutância do dielétrico é
logo a resistência equivalente vale
Como o capacitor está isolado, a descarga obedece à equação do circuito RC
Passo 3
Substituindo
e
na equação de descarga:
Portanto
Como
, a carga decai como
Passo 4
Para achar a corrente de deslocamento no dielétrico usamos
Logo
Como queremos a corrente de deslocamento em módulo, escrevemos
Passo 5
Para encontrar o campo magnético dentro do dielétrico aplicamos a lei de Ampère–Maxwell em volta de um contorno circular de raio
raio das placas:
Mas em cada ponto do dielétrico
logo
. Assim
, o que implica
Resposta
(a)
(b)
(c) no interior do dielétrico.
(b)
(c)