13 Um capacitor de placas paralelas, com placas em forma de discos circulares, tem a região entre auas placas preenchida por um dielétrico de permitividade \epsilon. O dielétrico é imperfeito, possuindo uma condutividade g. A capacidade do capacitor é C. O capacitor é carregado até uma diferença de potencial \Delta \varphi e isolado. (a) Encontre a carga sobre o capacitor como função do tempo. (b) Encontre a corrente de deslocamento no dielétrico. (c) Encontre o campo magnético no dielétrico.

Passo 1

O enunciado trata de um capacitor de placas paralelas, área de cada placa A, separação d, preenchido por um dielétrico de permitividade \epsilon e condutividade g. A capacitância é
C=\frac{\epsilon A}{d},
e o dielétrico permite uma corrente de condução J_{\rm cond}=gE. O capacitor é carregado até diferença de potencial \Delta\varphi e depois isolado, de modo que a descarga ocorre pela condutividade do dielétrico. Vamos modelar isso como um circuito RC em paralelo e usar as equações de Maxwell para achar a carga Q(t), a corrente de deslocamento e o campo magnético.

Passo 2

Primeiro, identificamos a resistência efetiva do dielétrico entre as placas. A condutância do dielétrico é
G=\frac{gA}{d}
logo a resistência equivalente vale
R=\frac{1}{G}=\frac{d}{gA}.
Como o capacitor está isolado, a descarga obedece à equação do circuito RC
R\,C\,\frac{dV}{dt}+V=0.

Passo 3

Substituindo R e C na equação de descarga:
\frac{dV}{dt} + \frac{1}{RC}\,V=0 \quad\text{com}\quad RC = \frac{d}{gA}\,\frac{\epsilon A}{d}=\frac{\epsilon}{g}.
Portanto
\frac{dV}{dt} + \frac{g}{\epsilon}\,V=0 \quad\Longrightarrow\quad V(t)=\Delta\varphi\,e^{-\,\frac{g}{\epsilon}\,t}.
Como Q=C\,V, a carga decai como
\boxed{Q(t)=C\,\Delta\varphi\,e^{-\frac{g}{\epsilon}\,t}.}

Passo 4

Para achar a corrente de deslocamento no dielétrico usamos
I_{D}(t)=\frac{d}{dt}\bigl[D(t)\,A\bigr] \quad\text{com}\quad D(t)=\epsilon\,E(t)=\epsilon\,\frac{V(t)}{d}.
Logo
I_{D}(t) =A\,\epsilon\,\frac{1}{d}\,\frac{dV}{dt} =A\,\epsilon\,\frac{1}{d}\Bigl(-\frac{g}{\epsilon}\,\Delta\varphi\,e^{-\frac{g}{\epsilon}t}\Bigr) =-\frac{gA}{d}\,\Delta\varphi\,e^{-\frac{g}{\epsilon}t}.
Como queremos a corrente de deslocamento em módulo, escrevemos
\boxed{I_{D}(t)=\frac{gA}{d}\,\Delta\varphi\,e^{-\frac{g}{\epsilon}t}.}

Passo 5

Para encontrar o campo magnético dentro do dielétrico aplicamos a lei de Ampère–Maxwell em volta de um contorno circular de raio r< raio das placas:
\oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell} =\int_{S}\bigl(J_{\rm cond}+\partial_t D\bigr)\cdot d\mathbf{A}.
Mas em cada ponto do dielétrico
J_{\rm cond}=gE \quad\text{e}\quad \partial_t D =\epsilon\,\partial_t E =-gE,
logo J_{\rm cond}+\partial_t D=0. Assim \oint\mathbf{H}\cdot d\boldsymbol{\ell}=0, o que implica
\boxed{\mathbf{H}=0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{B}=\mu\,\mathbf{H}=0 \\ \text{no dielétrico}.}é

Resposta

(a) Q(t)=C\,\Delta\varphi\,e^{-\,\frac{g}{\epsilon}t}.
(b) I_{D}(t)=\dfrac{gA}{d}\,\Delta\varphi\,e^{-\,\frac{g}{\epsilon}t}.
(c) \mathbf{B}=0 no interior do dielétrico.

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