9 A condiçāo para que a teoria da órbita seja uma boa aproximação ao movimento de um elétron num plasma é que \tau \gg 2 \pi m_{e} / B e, onde \tau é o tempo médio de colisāo (veja o Capítulo 7 ) e 2 \pi m_{e} / B e é o período do ciclotron no campo magnético B. Demonstre que este enunciado equivale a \eta \ll \eta_{H}, onde \eta_{H} \equiv B / N_{0} e é a resistividade de Hall.

Passo 1

O enunciado diz que, para que a teoria da órbita (guiding-center) seja válida num plasma, o tempo médio de colisão \tau deve ser muito maior que o período do ciclotron
T_c \;=\;\frac{2\pi\,m_e}{e\,B}\,.
Queremos mostrar que essa condição é equivalente a
\eta \;\ll\;\eta_H,
onde \eta é a resistividade ôhmica e \eta_H é a resistividade de Hall.

Passo 2

Como T_c=2\pi m_e/(eB), a condição \tau\gg T_c vira
\tau\;\gg\;\frac{2\pi\,m_e}{e\,B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\tau}\;\ll\;\frac{e\,B}{2\pi\,m_e}\,.

Passo 3

Em teoria de transporte em plasma define-se a resistividade ôhmica por
\eta \;=\;\frac{m_e\,\nu}{N_0\,e^2} \quad\text{com}\quad \nu=\frac{1}{\tau} \;\;\Longrightarrow\;\; \eta=\frac{m_e}{N_0\,e^2\,\tau}\,.
A resistividade de Hall é
\eta_H \;=\;\frac{B}{N_0\,e}\,.

Passo 4

Vamos comparar \eta e \eta_H. Calculamos a razão
\frac{\eta}{\eta_H} =\frac{\displaystyle\frac{m_e}{N_0e^2\tau}} {\displaystyle\frac{B}{N_0e}} =\frac{m_e}{e\,B\,\tau}\,.
A condição \eta\ll\eta_H equivale a
\frac{m_e}{e\,B\,\tau}\ll1 \quad\Longrightarrow\quad \tau\gg\frac{m_e}{e\,B}\,.
Incluindo o fator 2\pi vindo do período ciclotron, recuperamos \tau\gg2\pi m_e/(eB), exatamente a condição inicial.

Resposta

\displaystyle \eta\ll\eta_H

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