1.11 Um feixe de átomos de spin \frac{1}{2} passa por uma série de medidas do tipo Stern-Gerlach como descrito abaixo:
(a) a primeira medida aceita átomos \operatorname{com} s_{z}=\hbar / 2 e rejeita aqueles \operatorname{com} s_{z}=-\hbar / 2.
(b) A segunda medida aceita átomos com s_{n}=\hbar / 2 e rejeita os \operatorname{com} s_{n}=-\hbar / 2, onde s_{n} é um autovalor do operador \mathrm{S} \cdot \hat{\mathbf{n}}, \operatorname{com} \hat{\mathbf{n}} fazendo um ângulo \beta no plano x z em relação an eixo z.
(c) A terceira medida aceita átomos com s_{z}=-\hbar / 2 e rejeita aqueles \operatorname{com} s_{z}=\hbar / 2.
Qual a intensidade do feixe s_{z}=-\hbar / 2 final quando o feixe com s_{z}=\hbar / 2 inicial, que sobreviveu à primeira medida, era normalizado em 1 ? Como devemos orientar o segundo aparelho de medida se quisermos maximizar a intensidade do feixe final com s_{z}=-\hbar / 2 ?

Passo 1

O enunciado trata de um feixe de átomos de spin 1/2 preparado inicialmente em s_{z}=+\hbar/2 (normalizado a 1). Esse feixe passa por três dispositivos Stern–Gerlach:
(a) seleciona +\hbar/2 em z,
(b) seleciona +\hbar/2 ao longo de \hat n, que faz ângulo \beta no plano xz em relação a z,
(c) seleciona -\hbar/2 em z.
Precisamos usar a regra de Born (probabilidade de projeção) e a sobreposição dos estados de spin para encontrar a intensidade final.

Passo 2

Após a primeira medida o feixe está em \lvert +z\rangle. Na segunda medida ele é projetado em \lvert +n\rangle. Usamos a representação
\lvert +n\rangle = \cos\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr)\,\lvert +z\rangle + \sin\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr)\,\lvert -z\rangle.
Pela regra de Born, a probabilidade de passar na segunda medida é
P_{1} = \bigl\lvert\langle +n\mid +z\rangle\bigr\rvert^{2} = \cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr).

Passo 3

Depois da segunda medida o feixe está em \lvert +n\rangle com intensidade P_{1}. Na terceira medida projetamos em \lvert -z\rangle, cuja probabilidade é
P_{2} = \bigl\lvert\langle -z\mid +n\rangle\bigr\rvert^{2} = \sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr).
A intensidade final do feixe s_{z}=-\hbar/2 é
I = P_{1}\,P_{2} = \cos^{2}\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr)\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\beta}{2}\bigr).

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\cos^{2}x\,\sin^{2}x = \tfrac14\sin^{2}(2x),
com x=\beta/2. Assim
I = \tfrac14\,\sin^{2}\!\bigl(2\cdot\tfrac{\beta}{2}\bigr) = \tfrac14\,\sin^{2}\beta.

Passo 5

Para maximizar I precisamos de \sin^{2}\beta=1, ou seja \beta=90^\circ \pi/2. Isso significa orientar o segundo aparelho perpendicular ao eixo z, por exemplo medindo S_x.

Resposta

A intensidade final é
I(\beta)=\tfrac14\,\sin^{2}\beta.
Para \beta=90^\circ (eixo x) obtemos a intensidade máxima
I_{\max}=\tfrac14.

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