Usando-se a base de estados ortonormais:
(|1), |2\rangle ), onde |1\rangle=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0\end{array}\right] e |2\rangle=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right], o hamiltonlano que governa a evoluçao de um sistema de 2 niveis expressa-se pela matriz:
H=\left[\begin{array}{cc} 6 E & -E \\\\ -E & 4 E \end{array}\right]
a) Determine os aulovalores e os respectivos autovetores desse hamiltoniano.
b) Os autovetores encontrados no item acima são ortogonais entre si? Mostre isso.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar o Hamiltoniano de um sistema de dois níveis na base ortonormal \{|1\rangle,|2\rangle\}, isto é, achar seus autovalores \lambda e autovetores |\psi\rangle satisfazendo
H|\psi\rangle = \lambda|\psi\rangle,
onde
H = \begin{pmatrix} 6E & -E\\\\ -E & 4E \end{pmatrix}.
Vamos usar a teoria de autovalores e autovetores de matrizes 2\times2: primeiro montamos o polinômio característico \det(H-\lambda I)=0 e depois, para cada \lambda, resolvemos (H-\lambda I)v=0.