(David H. Mclnilyre) Imagine um sistema quantico com uma observável A que tem 3 resultados de medida: a_{1}, a_{2} e a_{3}. Os vetores \left|a_{1}\right\rangle, \left|a_{2}\right\rangle e \left|a_{3}\right\rangle formam uma base ortonormal. O sistema é preparado no estado:
|\psi\rangle=2\left|a_{1}\right\rangle-3\left|a_{2}\right\rangle+4 i\left|a_{3}\right\rangle .
Normalize o vetor e calcule a probabilidade de medir os resultados \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2} e \mathrm{a}_{3}

Passo 1

O enunciado diz que temos uma base ortonormal \{\left|a_{1}\right\rangle,\left|a_{2}\right\rangle,\left|a_{3}\right\rangle\} e o estado
|\psi\rangle = 2\left|a_{1}\right\rangle \;-\;3\left|a_{2}\right\rangle \;+\;4\,i\left|a_{3}\right\rangle.
Queremos normalizar |\psi\rangle e, em seguida, usar a regra de Born, segundo a qual a probabilidade de medir a_{k} é \bigl|\langle a_{k}|\psi_{\rm norm}\rangle\bigr|^{2}.

Passo 2

Calculamos a norma ao quadrado de |\psi\rangle somando os quadrados dos módulos dos coeficientes:
\|\psi\|^{2} = |2|^{2} + |-3|^{2} + |4\,i|^{2} = 4 + 9 + 16 = 29.

Passo 3

O fator de normalização é 1/\sqrt{29}. Logo, o estado normalizado é
|\psi_{\rm norm}\rangle = \frac{1}{\sqrt{29}}\Bigl(2\left|a_{1}\right\rangle \;-\;3\left|a_{2}\right\rangle \;+\;4\,i\left|a_{3}\right\rangle\Bigr).

Passo 4

Pela regra de Born, a probabilidade de obter a_{k} é o quadrado do módulo do coeficiente correspondente em |\psi_{\rm norm}\rangle. Assim:
P(a_{1}) = \frac{|2|^{2}}{29} = \frac{4}{29},\qquad P(a_{2}) = \frac{|-3|^{2}}{29} = \frac{9}{29},\qquad P(a_{3}) = \frac{|4\,i|^{2}}{29} = \frac{16}{29}.

Resposta

O estado normalizado é
|\psi_{\rm norm}\rangle = \frac{1}{\sqrt{29}}\bigl(2|a_{1}\rangle - 3|a_{2}\rangle + 4\,i|a_{3}\rangle\bigr),
e as probabilidades são
P(a_{1}) = \frac{4}{29},\quad P(a_{2}) = \frac{9}{29},\quad P(a_{3}) = \frac{16}{29}.

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