5.54 O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm . Requer-se que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G. Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de 1^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Comprimento do eixo: L=3\\ \text{m}.
  • Diâmetro externo (eixo maciço): d=50\\ \text{mm}=0,05\\ \text{m}.
  • Potência transmitida: P=35\\ \text{kW}=35000\\ \text{W}.
  • Máxima torção admissível (ângulo de torção total ao longo do eixo): \theta_{\max}=1^\circ.
  • Material: aço A-36 (propriedades mecânicas serão usadas).
    O enunciado pede: determinar a menor velocidade angular ( \omega) que o eixo pode ter de modo que, transmitindo P, a torção não exceda \theta_{\max}.

Passo 2

Quais fórmulas vamos usar (explicadas com calma):
  • Relação entre ângulo de torção \theta, torque T, comprimento L, módulo de cisalhamento G e momento polar de inércia J para um eixo circular maciço (lei da torção para regime elástico):
\theta=\frac{T\,L}{G\,J}.
Explicando cada símbolo:
  • \theta é o ângulo de torção total no eixo (em radianos).
  • T é o torque aplicado (em N·m).
  • L é o comprimento do eixo (m).
  • G é o módulo de cisalhamento do material (Pa = N/m^2). Para aço, G é da ordem de 10^{10} Pa.
  • J é o momento polar de inércia da seção circular (m^4), que mede a “resistência” à torção da seção.
  • Relação potência ↔ torque ↔ velocidade angular:
P=T\,\omega,
onde \omega é a velocidade angular em rad/s.
Combinar as duas fórmulas dá
\omega=\frac{P}{T}=\frac{P}{\,\dfrac{GJ\theta}{L}\,}=\frac{P\,L}{G\,J\,\theta}.
Logo, para encontrar a menor \omega que não exceda \theta_{\max} basta calcular G, J e substituir.

Passo 3

Calcular o momento polar de inércia J para uma seção circular maciça:
A fórmula é
J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo d=0,05\\ \text{m}:
d^{4}=(0,05)^{4}=6{,}25\times10^{-6}\\ \text{m}^{4},
J=\frac{\pi(6{,}25\times10^{-6})}{32}=\pi\cdot1{,}953125\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.
Calculando numericamente:
J\approx6{,}136\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}.

Passo 4

Determinar o módulo de cisalhamento G do aço A-36:
  • Valor típico do módulo de elasticidade (módulo de Young) para aços: E\approx200\times10^{9}\\ \text{Pa}.
  • Valor típico de razão de Poisson: \nu\approx0{,}30.
    Relação entre E, \nu e G:
G=\frac{E}{2(1+\nu)}.
Substituindo:
G=\frac{200\times10^{9}}{2(1+0{,}30)}=\frac{200\times10^{9}}{2{,}6}\approx76{,}923\times10^{9}\\ \text{Pa}.
Arredondando para valores usuais:
G\approx7{,}6923\times10^{10}\\ \text{Pa}\quad(\text{ou }76{,}9\\ \text{GPa}).
(Obs.: alguns exercícios usam G\approx77\\ \text{GPa} ou 80\\ \text{GPa}; aqui usamos o valor calculado a partir de E e \nu.)

Passo 5

Converter o ângulo admissível para radianos:
\theta_{\max}=1^\circ=\frac{\pi}{180}\\ \text{rad}\approx0{,}0174533\\ \text{rad}.

Passo 6

Calcular o torque admissível T que produz \theta_{\max} usando \theta=\dfrac{T L}{G J}. Isolando T:
T=\frac{G\,J\,\theta}{L}.
Substituindo números:
G\approx7{,}6923\times10^{10}\\ \text{Pa}, \quad J\approx6{,}136\times10^{-7}\\ \text{m}^{4}, \quad \theta\approx0{,}0174533\\ \text{rad}, \quad L=3\\ \text{m}.
Calculemos passo a passo:
GJ=(7{,}6923\times10^{10})\cdot(6{,}136\times10^{-7})\approx4{,}7200\times10^{4}.
GJ\theta\approx4{,}7200\times10^{4}\cdot0{,}0174533\approx823{,}696.
T=\frac{823{,}696}{3}\approx274{,}565\\ \text{N·m}.
Arredondando razoavelmente:
T\approx274{,}6\\ \text{N·m}.

Passo 7

Calcular a velocidade angular mínima \omega necessária para transmitir P com esse torque:
\omega=\frac{P}{T}=\frac{35000}{274{,}565}\\ \text{rad/s}\approx127{,}5\\ \text{rad/s}.
Converter para rotações por minuto ( \text{rpm}):
n=\frac{\omega}{2\pi}\cdot60=\omega\cdot\frac{60}{2\pi}.
n\approx127{,}5\cdot\frac{60}{2\pi}\approx127{,}5\cdot9{,}5493\approx1217{,}5\\ \text{rpm}.

Passo 8

Verificação rápida de consistência e comentário final (rápido e encorajador):
  • O valor de torque T\approx275\\ \text{N·m} é razoável para um eixo de diâmetro 50\\ \text{mm}.
  • Se quiser usar um valor ligeiramente diferente de G (por exemplo 80\\ \text{GPa}), os resultados mudam pouco (alguns %). Mas com os dados padrão já temos uma resposta prática que pode ser usada na prova.

Resposta

\omega_{\min}\approx127{,}5\\ \text{rad/s}
n_{\min}\approx1217{,}5\\ \text{rpm}

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