5.54 O eixo maciço de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm . Requer-se que transmita 35 kW de potência do motor
para o gerador
. Determinar a menor velocidade angular que o eixo pode ter se a máxima torção admissível é de
.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Comprimento do eixo:
. - Diâmetro externo (eixo maciço):
. - Potência transmitida:
. - Máxima torção admissível (ângulo de torção total ao longo do eixo):
. - Material: aço A-36 (propriedades mecânicas serão usadas).
O enunciado pede: determinar a menor velocidade angular () que o eixo pode ter de modo que, transmitindo , a torção não exceda .
Passo 2
Quais fórmulas vamos usar (explicadas com calma):
- Relação entre ângulo de torção
, torque , comprimento , módulo de cisalhamento e momento polar de inércia para um eixo circular maciço (lei da torção para regime elástico):
Explicando cada símbolo:
-
é o ângulo de torção total no eixo (em radianos). -
é o torque aplicado (em N·m). -
é o comprimento do eixo (m). -
é o módulo de cisalhamento do material (Pa = N/m^2). Para aço, é da ordem de Pa. -
é o momento polar de inércia da seção circular (m^4), que mede a “resistência” à torção da seção. - Relação potência ↔ torque ↔ velocidade angular:
onde
é a velocidade angular em rad/s.
Combinar as duas fórmulas dá
Combinar as duas fórmulas dá
Logo, para encontrar a menor
que não exceda
basta calcular
,
e substituir.
Passo 3
Calcular o momento polar de inércia
para uma seção circular maciça:
A fórmula é
A fórmula é
Substituindo
:
Calculando numericamente:
Passo 4
Determinar o módulo de cisalhamento
do aço A-36:
- Valor típico do módulo de elasticidade (módulo de Young) para aços:
. - Valor típico de razão de Poisson:
.
Relação entre, e :
Substituindo:
Arredondando para valores usuais:
(Obs.: alguns exercícios usam
ou
; aqui usamos o valor calculado a partir de
e
.)
Passo 5
Converter o ângulo admissível para radianos:
Passo 6
Calcular o torque admissível
que produz
usando
. Isolando
:
Substituindo números:
Calculemos passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Passo 7
Calcular a velocidade angular mínima
necessária para transmitir
com esse torque:
Converter para rotações por minuto (
):
Passo 8
Verificação rápida de consistência e comentário final (rápido e encorajador):
- O valor de torque
é razoável para um eixo de diâmetro . - Se quiser usar um valor ligeiramente diferente de
(por exemplo ), os resultados mudam pouco (alguns %). Mas com os dados padrão já temos uma resposta prática que pode ser usada na prova.