11- Um motorista calibra os pneus de seu carro no inverno, quando a temperatura ambiente é de 15^{\circ} \mathrm{C}. No verão, a temperatura sobe para 35^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que o volume do pneu permanece praticamente constante e que não há vazamento de ar, o que a teoria cinética dos gases prevê para a pressão interna dos pneus, a energia, o calor e o trabalho para dias de verão?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Informação: temperatura no inverno (calibrou-se os pneus) é 15^\circ\mathrm{C}.
  • Informação: temperatura no verão sobe para 35^\circ\mathrm{C}.
  • Informação/pressuposto: o volume do pneu permanece praticamente constante e não há vazamento de ar (ou seja, V constante e n constante).
  • Perguntas: segundo a teoria cinética/termodinâmica dos gases ideais, o que acontece com
    • a pressão interna dos pneus;
    • a energia interna;
    • o calor trocado;
    • o trabalho realizado,
      para os dias de verão?
Vou usar os dados de temperatura convertidos para Kelvin (porque as leis de gases usam Kelvin):
T_1 = 15^\circ\mathrm{C} = 15+273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 35^\circ\mathrm{C} = 35+273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Lei dos gases ideais e relação pressão‑temperatura a volume constante.
  • A lei dos gases ideais é
P V = n R T,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols de gás, R a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}) e T a temperatura em Kelvin.
  • Se V e n são constantes, então P é proporcional a T. Assim, entre os estados 1 (inverno) e 2 (verão) vale
\frac{P_2}{P_1}=\frac{T_2}{T_1}.
  • Substituindo os valores de T_1 e T_2:
\frac{P_2}{P_1}=\frac{308{,}15}{288{,}15}\approx 1{,}0694.
Isto significa que a pressão aumenta cerca de 6{,}94\% (aproximadamente 7\%) no verão em relação à pressão calibrada no inverno.

Passo 3

Intuição física pela teoria cinética dos gases (explicação didática).
  • Na teoria cinética, a pressão do gás resulta das colisões das moléculas com as paredes; aumentar a temperatura significa aumentar a energia cinética média das moléculas, logo as colisões são mais intensas e a pressão aumenta se o volume não muda.
  • A relação microscópica mais simples para um gás ideal monoatômico relaciona energia cinética média translacional por molécula com a temperatura:
\frac{1}{2} m \langle v^2\rangle = \frac{3}{2} k_B T,
onde m é a massa da molécula, \langle v^2\rangle a velocidade quadrática média e k_B a constante de Boltzmann. O ponto importante: \langle v^2\rangle cresce com T, e isso leva ao aumento da pressão quando V é fixo.

Passo 4

Energia interna do gás ideal e variação de energia.
  • Para um gás ideal, a energia interna total U depende apenas da temperatura. Para n mols:
U = n c_V T,
onde c_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidades \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}).
  • Para o ar (gás majoritariamente diatômico a temperaturas ambiente, desprezando modos vibracionais), usa‑se c_V=\tfrac{5}{2}R. Isso vale porque um gás diatômico tem, em temperatura ambiente, 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação ativos, totalizando f=5 e c_V=\tfrac{f}{2}R.
  • A variação de energia interna ao aquecer de T_1 para T_2 é
\Delta U = n c_V (T_2-T_1).
  • Se quisermos um número prático por mol (ou seja, n=1\\ \mathrm{mol}), usando c_V=\tfrac{5}{2}R e \Delta T = T_2-T_1 = 20\\ \mathrm{K}:
\Delta U_{\text{por mol}} = \frac{5}{2}R\,(20) = 2{,}5\cdot 8{,}314 \cdot 20 \approx 415{,}7\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Portanto a energia interna do ar dentro do pneu aumenta na mesma proporção que a temperatura; para cada mol de ar entra cerca de 416\\ \mathrm{J} quando a temperatura sobe 20\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Trabalho realizado pelo gás.
  • O trabalho feito pelo gás em um processo quasiestático é
W=\int P\,dV.
  • Se o volume é praticamente constante ( dV=0 durante o aquecimento), então
W=0.
Ou seja, o gás não realiza trabalho de expansão significativo sobre o ambiente ao aquecer dentro do pneu fechado.

Passo 6

Calor trocado e primeira lei da termodinâmica.
  • A primeira lei da termodinâmica (com a convenção \Delta U = Q - W) relaciona variação de energia interna \Delta U, calor trocado Q com o ambiente e trabalho W realizado pelo gás.
  • Como W=0 no caso de volume constante, temos
\Delta U = Q.
  • Portanto o calor recebido pelo ar no pneu durante o aquecimento é exatamente igual ao aumento da energia interna calculado no passo anterior. Para n=1\\ \mathrm{mol}, Q \approx 415{,}7\\ \mathrm{J} para \Delta T=20\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Observações práticas e conclusão curta (motivacional).
  • Resultado prático importante: a pressão aumenta cerca de 7\% quando a temperatura sobe de 15^\circ\mathrm{C} para 35^\circ\mathrm{C} mantendo o volume do pneu fixo. Isso explica por que é comum ver pneus “muito cheios” em dias quentes — a pressão aumenta sem que se tenha colocado ar a mais.
  • Por segurança na prova: sempre transforme Celsius em Kelvin para razões de gás, aplique P\propto T quando V e n são constantes, lembre da primeira lei \Delta U=Q-W e que W=0 se V constante.

Resposta

Pressão: P_2 = P_1\frac{T_2}{T_1}\approx 1{,}0694\,P_1 (aumento de aproximadamente 6{,}94\%).
Energia interna: aumenta; \Delta U = n c_V (T_2-T_1) (para ar diatômico c_V=\tfrac{5}{2}R).
Calor: Q=\Delta U (ou seja, calor entra no gás e vale Q=n c_V (T_2-T_1); por mol Q\approx 415{,}7\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} para \Delta T=20\\ \mathrm{K}).
Trabalho: W=0 (volume praticamente constante).

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