11- Um motorista calibra os pneus de seu carro no inverno, quando a temperatura ambiente é de
. No verão, a temperatura sobe para
. Considerando que o volume do pneu permanece praticamente constante e que não há vazamento de ar, o que a teoria cinética dos gases prevê para a pressão interna dos pneus, a energia, o calor e o trabalho para dias de verão?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Informação: temperatura no inverno (calibrou-se os pneus) é
. - Informação: temperatura no verão sobe para
. - Informação/pressuposto: o volume do pneu permanece praticamente constante e não há vazamento de ar (ou seja,
constante e constante). - Perguntas: segundo a teoria cinética/termodinâmica dos gases ideais, o que acontece com
- a pressão interna dos pneus;
- a energia interna;
- o calor trocado;
- o trabalho realizado,
para os dias de verão?
Vou usar os dados de temperatura convertidos para Kelvin (porque as leis de gases usam Kelvin):
Passo 2
Lei dos gases ideais e relação pressão‑temperatura a volume constante.
- A lei dos gases ideais é
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols de gás,
a constante universal dos gases (
) e
a temperatura em Kelvin.
- Se
e são constantes, então é proporcional a . Assim, entre os estados 1 (inverno) e 2 (verão) vale
- Substituindo os valores de
e :
Isto significa que a pressão aumenta cerca de
(aproximadamente
) no verão em relação à pressão calibrada no inverno.
Passo 3
Intuição física pela teoria cinética dos gases (explicação didática).
- Na teoria cinética, a pressão do gás resulta das colisões das moléculas com as paredes; aumentar a temperatura significa aumentar a energia cinética média das moléculas, logo as colisões são mais intensas e a pressão aumenta se o volume não muda.
- A relação microscópica mais simples para um gás ideal monoatômico relaciona energia cinética média translacional por molécula com a temperatura:
onde
é a massa da molécula,
a velocidade quadrática média e
a constante de Boltzmann. O ponto importante:
cresce com
, e isso leva ao aumento da pressão quando
é fixo.
Passo 4
Energia interna do gás ideal e variação de energia.
- Para um gás ideal, a energia interna total
depende apenas da temperatura. Para mols:
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidades
).
-
Para o ar (gás majoritariamente diatômico a temperaturas ambiente, desprezando modos vibracionais), usa‑se
. Isso vale porque um gás diatômico tem, em temperatura ambiente, 3 graus de liberdade de translação e 2 de rotação ativos, totalizando e . -
A variação de energia interna ao aquecer de
para é
- Se quisermos um número prático por mol (ou seja,
), usando e :
Portanto a energia interna do ar dentro do pneu aumenta na mesma proporção que a temperatura; para cada mol de ar entra cerca de
quando a temperatura sobe
.
Passo 5
Trabalho realizado pelo gás.
- O trabalho feito pelo gás em um processo quasiestático é
- Se o volume é praticamente constante (
durante o aquecimento), então
Ou seja, o gás não realiza trabalho de expansão significativo sobre o ambiente ao aquecer dentro do pneu fechado.
Passo 6
Calor trocado e primeira lei da termodinâmica.
- A primeira lei da termodinâmica (com a convenção
) relaciona variação de energia interna , calor trocado com o ambiente e trabalho realizado pelo gás. - Como
no caso de volume constante, temos
- Portanto o calor recebido pelo ar no pneu durante o aquecimento é exatamente igual ao aumento da energia interna calculado no passo anterior. Para
, para .
Passo 7
Observações práticas e conclusão curta (motivacional).
- Resultado prático importante: a pressão aumenta cerca de
quando a temperatura sobe de para mantendo o volume do pneu fixo. Isso explica por que é comum ver pneus “muito cheios” em dias quentes — a pressão aumenta sem que se tenha colocado ar a mais. - Por segurança na prova: sempre transforme Celsius em Kelvin para razões de gás, aplique
quando e são constantes, lembre da primeira lei e que se constante.
Resposta
Pressão:
(aumento de aproximadamente
).
Energia interna: aumenta; (para ar diatômico
).
Calor: (ou seja, calor entra no gás e vale
; por mol
para
).
Trabalho: (volume praticamente constante).
Energia interna: aumenta;
Calor:
Trabalho: