12- Um estudante tapa a ponta de uma seringa contendo ar e empurra o êmbolo rapidamente, reduzindo o volume do gás à metade. Imediatamente após a compressão, antes que ocorra troca de calor com o ambiente, o que ocorre com a temperatura do ar no interior da seringa, a energia interna, aquantidade de calor e o trabalha no processor?

Passo 1

O enunciado dá estas informações (tudo o que importa para a resolução):
  • Há uma seringa fechada contendo ar; a ponta está tapada, logo é um sistema fechado (massa de gás constante).
  • O êmbolo é empurrado rapidamente, reduzindo o volume do gás à metade.
  • Pergunta: imediatamente após a compressão, antes de ocorrer troca de calor com o ambiente, o que acontece com:
    • a temperatura do ar dentro da seringa;
    • a energia interna do gás;
    • a quantidade de calor trocada;
    • o trabalho no processo.

Passo 2

Primeiras hipóteses e convenções (isso é essencial para não ficar confuso):
  • Como o enunciado diz “imediatamente após a compressão, antes que ocorra troca de calor”, podemos considerar o processo adiabático nesse intervalo curto: não houve tempo para fluxo de calor entre gás e ambiente. Portanto, durante a compressão rápida vale Q=0.
  • Trata-se de uma compressão rápida e não necessariamente reversível. Então o processo é provavelmente adiabático e irreversível (não importa agora o detalhe da irreversibilidade para as conclusões qualitativas que vamos obter).
  • Vou usar a convenção de sinais termodinâmica mais comum: Q é o calor recebido pelo sistema; W é o trabalho feito pelo sistema sobre o meio. Com essa convenção, o Enunciado da Primeira Lei fica
\Delta U = Q - W.
(Se preferir outra convenção — trabalho sobre o sistema — dá para adaptar; explico rápido em seguida.)

Passo 3

Aplicando a Primeira Lei ao caso (conseqüências imediatas):
  • Como dito, no intervalo considerado Q=0. Substituindo em \Delta U = Q - W obtemos
\Delta U = -W.
  • Durante uma compressão o pistão empurra o gás: o gás recebe trabalho (o trabalho é feito sobre o gás). Na convenção que adotei, isso significa que o trabalho feito pelo gás sobre o ambiente é negativo, ou seja W<0. (Equivalente: o trabalho realizado sobre o gás, que podemos chamar W_{\text{on}}, é W_{\text{on}}=-W>0.)
  • Como W<0, da relação \Delta U = -W segue que \Delta U>0. Ou seja, a energia interna do gás aumenta.
  • Para um gás ideal a energia interna depende apenas da temperatura. Mais precisamente, para n mols de gás ideal
U = n C_V T,
onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Assim
\Delta U = n C_V \Delta T.
Se \Delta U>0 então \Delta T>0: a temperatura aumenta.
Resumo qualitativo até aqui: a compressão rápida (adiabática) faz trabalho sobre o gás, esse trabalho é convertido em energia interna, e a temperatura do gás sobe.

Passo 4

Explicação física intuitiva (para fixar o conceito):
  • Trabalho realizado sobre o gás significa que as moléculas são “espremidas” e, no processo, parte da energia macroscópica do êmbolo vai para a energia microscópica das moléculas (energia cinética média aumenta). A temperatura mede essa energia cinética média, então aumenta.
  • Como não houve tempo para troca de calor com o ambiente (o enunciado diz “antes que ocorra troca de calor”), todo o aumento de energia interna vem do trabalho realizado sobre o gás.

Passo 5

Observação sobre valores numéricos e irreversibilidade (quando dá para calcular e quando não dá):
  • Se o processo fosse uma compressão adiabática reversível (processo idealizado), poderíamos relacionar volumes e temperaturas por
P V^\gamma=\text{constante}\qquad\text{e}\qquad T V^{\gamma-1}=\text{constante},
onde \gamma=C_P/C_V. Para compressão até metade do volume, a previsão reversível seria
T' = T\;2^{\gamma-1},
o que dá um aumento quantificável (por exemplo, para gás diatômico com \gamma\approx 7/5=1{,}4 tem T' \approx T\cdot 2^{0{,}4}\approx 1{,}32\,T).
  • Porém: como o enunciado descreve uma compressão rápida (provavelmente irreversível), a relação exata entre T e T' depende do caminho (forças dissipativas, choques, atrito, etc.). O que não muda qualitativamente é que, durante o processo adiabático rápido, a temperatura sobe e \Delta U>0. O valor numérico exato do aumento depende do detalhe do processo (e para isso seria preciso informação adicional).

Passo 6

Reescrevendo as respostas de forma clara e com as notações:
  • Temperatura: aumenta ( \Delta T>0).
  • Energia interna: aumenta ( \Delta U>0), pois \Delta U = n C_V \Delta T.
  • Quantidade de calor: nenhuma troca de calor no intervalo considerado, Q=0.
  • Trabalho: o trabalho feito pelo gás é negativo ( W<0), isto é, trabalho é realizado sobre o gás e W_{\text{on}}=-W>0. Pela primeira lei, o valor do trabalho (módulo) equivale ao aumento de energia interna: |W|=\Delta U.

Resposta

Temperatura: aumenta ( \Delta T>0).
Energia interna: aumenta ( \Delta U>0).
Quantidade de calor: Q=0.
Trabalho: o trabalho feito pelo gás é negativo ( W<0); o trabalho realizado sobre o gás é positivo e satisfaz \Delta U=-W (ou seja, |W|=\Delta U).

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