- Mostre que:
é um espaço vetorial.
- Verifique se o conjunto:
é subespaço.
- Verifique se:
é subespaço.
- Mostre que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um espaço vetorial.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver ainda).
-
Foram dadas quatro perguntas separadas:
- Mostrar que
é um espaço vetorial. - Verificar se
é um subespaço de . - Verificar se
é um subespaço de . - Mostrar que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a
é um espaço vetorial.
- Mostrar que
-
Informação implícita que usarei:
- O conjunto
é o conjunto de pares ordenados com . - As operações usuais em
são a adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente. - O conjunto dos polinômios de grau
será denotado por .
- O conjunto
Passo 2
Primeiro: o que significa ser um espaço vetorial? Vou explicar devagar e com exemplos pequenos.
- Definição (intuitiva): um espaço vetorial sobre
é um conjunto com duas operações: - adição vetorial
que combina dois vetores e dá outro vetor em ; - multiplicação por escalar (um número real) que envia
para em .
- adição vetorial
- Essas operações devem satisfazer um conjunto de axiomas. Vou listar os axiomas de forma direta e simples (cada item é uma propriedade que deve valer para todos
e todos ): -
(comutatividade da adição). -
(associatividade da adição). - Existe um vetor neutro
tal que para todo . - Para cada
existe um inverso aditivo tal que . -
(distributividade de escalar sobre soma de vetores). -
(distributividade de soma de escalares). -
(associatividade da multiplicação escalar). -
(elemento identidade escalar).
-
Vou usar essas propriedades para verificar os conjuntos.
Passo 3
Mostrar que
é um espaço vetorial — primeira etapa: definir as operações.
- Defino adição em
por
- Defino multiplicação por escalar por
para todo
e todo
.
Essas são as operações usuais com as quais todos já estão familiarizados. Agora vou checar os axiomas listados no passo anterior, um a um, explicando por que valem e sem pular etapas.
Passo 4
Verificação dos axiomas em
— comutatividade e associatividade da adição.
- Comutatividade: para quaisquer
,
porque a adição em
é comutativa. Aqui usei que
e
.
- Associatividade: para quaisquer
,
e
As duas expressões coincidem porque a adição em
é associativa.
Passo 5
Verificação dos axiomas restantes: existência de neutro, inverso aditivo, compatibilidade de escalares.
- Neutro aditivo: o vetor
é neutro porque, para qualquer ,
- Inverso aditivo: para
o inverso é porque
- Fechamento sob multiplicação por escalar: para
e , tem-se que ainda é um par de reais, logo pertence a .
Passo 6
Verificação das propriedades distributivas e de associatividade com escalares, e identidade escalar.
- Distributividade escalar sobre soma de vetores: para
e ,
Aqui usei distribuitividade em
.
- Distributividade de soma de escalares: para
e ,
- Associatividade escalar: para
,
- Identidade escalar:
.
Passo 7
Conclusão para
.
- Todas as oito propriedades foram verificadas usando propriedades elementares de
. Portanto , com adição e multiplicação por escalar definidas componente a componente, é um espaço vetorial sobre .
Passo 8
Agora: o que é um subespaço vetorial? Vou explicar claramente.
- Definição prática: um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço se: -
contém o vetor zero (ou equivalentemente ); -
é fechado sob adição: se então ; -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
-
- Essas três condições são suficientes porque as demais propriedades dos vetores são herdadas do espaço ambiente
.
Passo 9
Verificar se
é subespaço.
-
Primeiro mostro que
não é vazio e contém o zero: pego , tem , então . -
Fechamento sob adição: sejam
. Então e . Somando as duas igualdades:
Logo
satisfaz a condição e pertence a
. Assim
é fechado sob adição.
- Fechamento sob multiplicação por escalar: tome
e , então . Multiplicando por ,
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 10
Conclusão para o primeiro subespaço.
-
Como
contém e é fechado em adição e multiplicação por escalar, é um subespaço de . -
Observação intuitiva útil para prova:
é a reta que passa pela origem com equação ; retas que passam pela origem em são subespaços.
Passo 11
Verificar se
é subespaço.
-
Primeiro observo que
pertence a porque . -
Para testar se é subespaço basta achar um contraexemplo que viole fechamento sob adição ou sob multiplicação por escalar. Vou procurar dois vetores em
cuja soma não pertença a . -
Considere
. Tem então . -
Considere
. Tem então . -
Soma:
Mas para
temos
, então
.
Passo 12
Conclusão para o segundo conjunto
.
-
Como há dois vetores em
cuja soma não pertence a , o conjunto não é fechado sob adição. Portanto não é um subespaço de . -
Observação intuitiva: o conjunto descrito é a união dos dois eixos
-e - (ou seja os pontos com ou ), que não forma uma linha inteira passando pela origem, e uniões de subespaços que não são uma soma linear geralmente não são subespaços a menos que uma esteja contida na outra.
Passo 13
Mostrar que o conjunto dos polinômios de grau
é um espaço vetorial — definição do conjunto e das operações.
- Defino
- A adição é definida coeficiente a coeficiente:
- A multiplicação por escalar
é
Passo 14
Verificar as propriedades necessárias para
.
-
Não vazio / contém o zero: o polinômio
pertence a . -
Fechamento sob adição: somando dois polinômios de grau
conforme fórmula acima, o resultado tem a forma com coeficientes reais; portanto é um polinômio de grau e pertence a . -
Fechamento sob multiplicação por escalar: multiplicando um polinômio
por obtém-se , que ainda é de grau .
Passo 15
Verificação das demais propriedades (herdadas do corpo
) e conclusão para
.
-
As propriedades de comutatividade e associatividade da adição, existência de inverso aditivo (o inverso de
é ), distributividades e associatividade escalar, e identidade escalar são verificadas diretamente pela igualdade de coeficientes e pelas propriedades dos números reais. Não há surpresas algébricas: cada propriedade reduz-se a uma propriedade conhecida de . -
Portanto
, com adição e multiplicação por escalar definidas coeficiente a coeficiente, é um espaço vetorial sobre .
Resposta
- Sim.
- Sim.
- Não.
- Sim.