1. Mostre que:
\mathbb{R}^{2}
é um espaço vetorial.
  1. Verifique se o conjunto:
W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x+y=0\right\}
é subespaço.
  1. Verifique se:
W=\{(x, y): x y=0\}
é subespaço.
  1. Mostre que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um espaço vetorial.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver ainda).
  • Foram dadas quatro perguntas separadas:
    1. Mostrar que \mathbb{R}^{2} é um espaço vetorial.
    2. Verificar se W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x+y=0\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
    3. Verificar se W=\{(x,y): x y=0\} é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
    4. Mostrar que o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 é um espaço vetorial.
  • Informação implícita que usarei:
    • O conjunto \mathbb{R}^{2} é o conjunto de pares ordenados (x,y) com x,y\in\mathbb{R}.
    • As operações usuais em \mathbb{R}^{2} são a adição componente a componente e multiplicação por escalar componente a componente.
    • O conjunto dos polinômios de grau \leq 2 será denotado por P_{2}=\{a+bx+cx^{2}: a,b,c\in\mathbb{R}\}.

Passo 2

Primeiro: o que significa ser um espaço vetorial? Vou explicar devagar e com exemplos pequenos.
  • Definição (intuitiva): um espaço vetorial sobre \mathbb{R} é um conjunto V com duas operações:
    • adição vetorial + que combina dois vetores e dá outro vetor em V;
    • multiplicação por escalar (um número real) que envia (\lambda,v) para \lambda v em V.
  • Essas operações devem satisfazer um conjunto de axiomas. Vou listar os axiomas de forma direta e simples (cada item é uma propriedade que deve valer para todos u,v,w\in V e todos \alpha,\beta\in\mathbb{R}):
    1. u+v=v+u (comutatividade da adição).
    2. (u+v)+w=u+(v+w) (associatividade da adição).
    3. Existe um vetor neutro 0\in V tal que v+0=v para todo v.
    4. Para cada v\in V existe um inverso aditivo -v tal que v+(-v)=0.
    5. \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v (distributividade de escalar sobre soma de vetores).
    6. (\alpha+\beta)u=\alpha u+\beta u (distributividade de soma de escalares).
    7. (\alpha\beta)u=\alpha(\beta u) (associatividade da multiplicação escalar).
    8. 1\cdot v=v (elemento identidade escalar).
Vou usar essas propriedades para verificar os conjuntos.

Passo 3

Mostrar que \mathbb{R}^{2} é um espaço vetorial — primeira etapa: definir as operações.
  • Defino adição em \mathbb{R}^{2} por
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}).
  • Defino multiplicação por escalar por
\lambda\,(x,y)=(\lambda x,\,\lambda y),
para todo \lambda\in\mathbb{R} e todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Essas são as operações usuais com as quais todos já estão familiarizados. Agora vou checar os axiomas listados no passo anterior, um a um, explicando por que valem e sem pular etapas.

Passo 4

Verificação dos axiomas em \mathbb{R}^{2} — comutatividade e associatividade da adição.
  • Comutatividade: para quaisquer (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2},
(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{2}+x_{1},y_{2}+y_{1})=(x_{2},y_{2})+(x_{1},y_{1}),
porque a adição em \mathbb{R} é comutativa. Aqui usei que x_{1}+x_{2}=x_{2}+x_{1} e y_{1}+y_{2}=y_{2}+y_{1}.
  • Associatividade: para quaisquer (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),
\big((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\big)+(x_{3},y_{3})
=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})+(x_{3},y_{3})=(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}+y_{2}+y_{3})
e
(x_{1},y_{1})+\big((x_{2},y_{2})+(x_{3},y_{3})\big) =(x_{1},y_{1})+(x_{2}+x_{3},y_{2}+y_{3}) =(x_{1}+x_{2}+x_{3},\,y_{1}+y_{2}+y_{3}).
As duas expressões coincidem porque a adição em \mathbb{R} é associativa.

Passo 5

Verificação dos axiomas restantes: existência de neutro, inverso aditivo, compatibilidade de escalares.
  • Neutro aditivo: o vetor (0,0) é neutro porque, para qualquer (x,y),
(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y).
  • Inverso aditivo: para (x,y) o inverso é (-x,-y) porque
(x,y)+(-x,-y)=(x-x,y-y)=(0,0).
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, tem-se \lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y) que ainda é um par de reais, logo pertence a \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Verificação das propriedades distributivas e de associatividade com escalares, e identidade escalar.
  • Distributividade escalar sobre soma de vetores: para \lambda\in\mathbb{R} e (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2},
\lambda\big((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})\big)=\lambda(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(\lambda(x_{1}+x_{2}),\lambda(y_{1}+y_{2}))
=(\lambda x_{1}+\lambda x_{2},\lambda y_{1}+\lambda y_{2})=(\lambda x_{1},\lambda y_{1})+(\lambda x_{2},\lambda y_{2})
=\lambda(x_{1},y_{1})+\lambda(x_{2},y_{2}).
Aqui usei distribuitividade em \mathbb{R}.
  • Distributividade de soma de escalares: para \lambda,\mu\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^{2},
(\lambda+\mu)(x,y)=((\lambda+\mu)x,(\lambda+\mu)y)=(\lambda x+\mu x,\lambda y+\mu y)
=(\lambda x,\lambda y)+(\mu x,\mu y)=\lambda(x,y)+\mu(x,y).
  • Associatividade escalar: para \lambda,\mu\in\mathbb{R},
\lambda(\mu(x,y))=\lambda(\mu x,\mu y)=(\lambda\mu x,\lambda\mu y)=(\lambda\mu)(x,y).
  • Identidade escalar: 1\cdot(x,y)=(1\cdot x,1\cdot y)=(x,y).

Passo 7

Conclusão para \mathbb{R}^{2}.
  • Todas as oito propriedades foram verificadas usando propriedades elementares de \mathbb{R}. Portanto \mathbb{R}^{2}, com adição e multiplicação por escalar definidas componente a componente, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Passo 8

Agora: o que é um subespaço vetorial? Vou explicar claramente.
  • Definição prática: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se:
    1. W contém o vetor zero (ou equivalentemente W\neq\emptyset);
    2. W é fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W;
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \lambda\in\mathbb{R} e u\in W então \lambda u\in W.
  • Essas três condições são suficientes porque as demais propriedades dos vetores são herdadas do espaço ambiente V.

Passo 9

Verificar se W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}: x+y=0\} é subespaço.
  • Primeiro mostro que W não é vazio e contém o zero: pego (0,0), tem 0+0=0, então (0,0)\in W.
  • Fechamento sob adição: sejam (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2})\in W. Então x_{1}+y_{1}=0 e x_{2}+y_{2}=0. Somando as duas igualdades:
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})=(x_{1}+y_{1})+(x_{2}+y_{2})=0+0=0.
Logo (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}) satisfaz a condição e pertence a W. Assim W é fechado sob adição.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: tome \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in W, então x+y=0. Multiplicando por \lambda,
\lambda x+\lambda y=\lambda(x+y)=\lambda\cdot 0=0.
Logo (\lambda x,\lambda y)\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 10

Conclusão para o primeiro subespaço.
  • Como W contém (0,0) e é fechado em adição e multiplicação por escalar, W é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
  • Observação intuitiva útil para prova: W é a reta que passa pela origem com equação y=-x; retas que passam pela origem em \mathbb{R}^{2} são subespaços.

Passo 11

Verificar se W=\{(x,y): x y=0\} é subespaço.
  • Primeiro observo que (0,0) pertence a W porque 0\cdot 0=0.
  • Para testar se é subespaço basta achar um contraexemplo que viole fechamento sob adição ou sob multiplicação por escalar. Vou procurar dois vetores em W cuja soma não pertença a W.
  • Considere (1,0). Tem 1\cdot 0=0 então (1,0)\in W.
  • Considere (0,1). Tem 0\cdot 1=0 então (0,1)\in W.
  • Soma:
(1,0)+(0,1)=(1,1).
Mas para (1,1) temos 1\cdot 1=1\neq 0, então (1,1)\notin W.

Passo 12

Conclusão para o segundo conjunto W.
  • Como há dois vetores em W cuja soma não pertence a W, o conjunto não é fechado sob adição. Portanto W=\{(x,y): x y=0\} não é um subespaço de \mathbb{R}^{2}.
  • Observação intuitiva: o conjunto descrito é a união dos dois eixos x-e y- (ou seja os pontos com x=0 ou y=0), que não forma uma linha inteira passando pela origem, e uniões de subespaços que não são uma soma linear geralmente não são subespaços a menos que uma esteja contida na outra.

Passo 13

Mostrar que o conjunto dos polinômios de grau \leq 2 é um espaço vetorial — definição do conjunto e das operações.
  • Defino
P_{2}=\{p(x)=a+bx+cx^{2}: a,b,c\in\mathbb{R}\}.
  • A adição é definida coeficiente a coeficiente:
(a+bx+cx^{2})+(A+Bx+Cx^{2})=(a+A)+(b+B)x+(c+C)x^{2}.
  • A multiplicação por escalar \lambda\in\mathbb{R} é
\lambda\cdot(a+bx+cx^{2})=(\lambda a)+(\lambda b)x+(\lambda c)x^{2}.

Passo 14

Verificar as propriedades necessárias para P_{2}.
  • Não vazio / contém o zero: o polinômio 0(x)=0+0x+0x^{2} pertence a P_{2}.
  • Fechamento sob adição: somando dois polinômios de grau \leq 2 conforme fórmula acima, o resultado tem a forma (a+A)+(b+B)x+(c+C)x^{2} com coeficientes reais; portanto é um polinômio de grau \leq 2 e pertence a P_{2}.
  • Fechamento sob multiplicação por escalar: multiplicando um polinômio a+bx+cx^{2} por \lambda obtém-se (\lambda a)+(\lambda b)x+(\lambda c)x^{2}, que ainda é de grau \leq 2.

Passo 15

Verificação das demais propriedades (herdadas do corpo \mathbb{R}) e conclusão para P_{2}.
  • As propriedades de comutatividade e associatividade da adição, existência de inverso aditivo (o inverso de a+bx+cx^{2} é (-a)+(-b)x+(-c)x^{2}), distributividades e associatividade escalar, e identidade escalar 1\cdot p=p são verificadas diretamente pela igualdade de coeficientes e pelas propriedades dos números reais. Não há surpresas algébricas: cada propriedade reduz-se a uma propriedade conhecida de \mathbb{R}.
  • Portanto P_{2}, com adição e multiplicação por escalar definidas coeficiente a coeficiente, é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

  1. Sim.
  2. Sim.
  3. Não.
  4. Sim.

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