Em cada item, determine uma equação polar para a cônica \mathcal{C}, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
\mathcal{C}: x y+x+y=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica pela equação cartesiana
x y + x + y = 0
e pede três coisas:
  • encontrar uma equação em coordenadas polares para \mathcal{C} (usar a origem usual como polo e \theta medido a partir do eixo x);
  • determinar o comprimento do semi-latus rectum da cônica;
  • fazer um esboço (descrever a forma e pontos importantes para desenhar).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a equação cartesiana é \,x y + x + y = 0\,;
  • pedi-se explicitamente a equação polar e o semi-latus rectum.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em coordenadas polares padrão: x = r\cos\theta e y = r\sin\theta. Substituindo em
x y + x + y = 0
temos
(r\cos\theta)(r\sin\theta) + r\cos\theta + r\sin\theta = 0.
Isso simplifica para
r^2\cos\theta\sin\theta + r(\cos\theta + \sin\theta) = 0.
Fatorando r (lembrando que r=0 representa o polo, um ponto trivial da curva), obtemos, para pontos com r\neq 0,
r\bigl(r\cos\theta\sin\theta + \cos\theta + \sin\theta\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r\cos\theta\sin\theta + \cos\theta + \sin\theta = 0.
Isolando r,
r = -\,\frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta\sin\theta}.
Essa é a equação polar da cônica com polo na origem (além da solução trivial r=0). Observações práticas:
  • onde \cos\theta=0 ou \sin\theta=0 a expressão tem divisão por zero (essas direções precisam ser tratadas separadamente; nesses ângulos a equação cartesiana pode ser avaliada diretamente);
  • podemos simplificar/escrever de formas alternativas, por exemplo usando identidades trigonométricas, mas a forma acima já é uma equação polar explícita.

Passo 3

Agora vamos entender que tipo de cônica é essa e calcular parâmetros clássicos (a, b, e, semi-latus rectum). Para facilitar, faça a mudança de variáveis de translação que centraliza a curva: defina
u = x+1,\qquad v = y+1.
Substituindo x=u-1 e y=v-1 na equação original:
(u-1)(v-1) + (u-1) + (v-1) = 0.
Expandindo:
uv - u - v + 1 + u - 1 + v - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad uv = 1.
Portanto, em coordenadas (u,v) a cônica é simplesmente
u v = 1.
Isto mostra que a curva é uma hipérbole equilateral (retangular) com centro em (x,y)=(-1,-1) (pois u=v=0 corresponde ao centro original).

Passo 4

Para pôr a hipérbole em forma padrão, efetuamos uma rotação de 45^\circ. Definimos coordenadas rotacionadas
X = \frac{u+v}{\sqrt{2}},\qquad Y = \frac{u-v}{\sqrt{2}}.
Em termos de X,Y,
u = \frac{X+Y}{\sqrt{2}},\qquad v = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}.
Substituindo em u v = 1:
\frac{(X+Y)(X-Y)}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{X^2 - Y^2}{2} = 1,
ou seja
X^2 - Y^2 = 2.
Esta é a forma padrão de uma hipérbole com centro na origem das coordenadas X,Y. Comparando com a forma padrão \dfrac{X^2}{a^2} - \dfrac{Y^2}{b^2} = 1, obtemos
a^2 = 2,\qquad b^2 = 2.
Assim
a = \sqrt{2},\qquad b = \sqrt{2}.

Passo 5

Agora calculamos os parâmetros importantes da hipérbole padrão:
  • a excentricidade é dada por \,e=\sqrt{1+\dfrac{b^2}{a^2}}\,. Como b^2/a^2=1, temos
e=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
  • O parâmetro focal (distância do centro até cada foco) é c = a e, portanto
c = a e = \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
Logo os focos, em coordenadas X,Y, são (\pm c,0) = (\pm 2,0).
  • O semi-latus rectum (denotado clássicamente por p ou l) para hipérbolas/ elipses é dado por
p = \frac{b^2}{a}.
Com b^2=2 e a=\sqrt{2} obtemos
p = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
Portanto o comprimento do semi-latus rectum da cônica é \sqrt{2}. (Explicando em palavras: esse p é o comprimento da corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo transverso; é um parâmetro geométrico padrão ligado à forma da cônica.)

Passo 6

Para voltar aos pontos importantes na coordenada original (x,y):
  • centro: em (u,v)=(0,0) isto dá (x,y)=(-1,-1);
  • vértices: em X=\pm a=\pm\sqrt{2} e Y=0. Voltando a u,v: u = \frac{X+Y}{\sqrt{2}} = \frac{\pm\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\pm 1, \qquad v = \frac{X-Y}{\sqrt{2}} = \pm 1,então em (x,y) os vértices são (u-1,v-1) = (0,0) e (-2,-2). (Assim confirma-se que o ponto (0,0) pertence à curva.)
  • focos em X,Y em (\pm 2,0). Voltando a (u,v): u = \frac{2+0}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},\quad v=\sqrt{2} \quad\text{e}\quad u = \frac{-2+0}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2},\quad v=-\sqrt{2}.Convertendo para (x,y) (lembrando x=u-1,\; y=v-1), os focos são (\sqrt{2}-1,\;\sqrt{2}-1)\quad\text{e}\quad(-\sqrt{2}-1,\; -\sqrt{2}-1).

Passo 7

Comentário final sobre a equação polar e sobre o esboço:
  • A equação polar direta com polo na origem (a equação que obtivemos ao calcular direto em polares) foi
r = -\,\frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta\sin\theta},
além do ponto r=0. Essa é a descrição da mesma curva usando o polo na origem; atenção aos ângulos em que \cos\theta ou \sin\theta se anulam (esses ângulos correspondem a direções vertical e horizontal e devem ser tratados avaliando a equação cartesiana diretamente).
  • Esboço (instruções para desenhar):
    • centro em (-1,-1);
    • assimptotas: x=-1 e y=-1 (linhas vertical e horizontal que cruzam no centro);
    • vértices: (0,0) (ramo que passa por esse ponto, no quadrante nordeste em relação ao centro) e (-2,-2) (ramo no sudoeste);
    • os ramos da hipérbole estão nos quadrantes relativos ao centro apontando para nordeste e sudoeste ao longo da direção y=x;
    • focos em (\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1) e (- \sqrt{2}-1,-\sqrt{2}-1);
    • semi-latus rectum p=\sqrt{2} (comprimento do segmento perpendicular ao eixo transverso que passa pelo foco).

Resposta

\text{Equação polar (polo na origem):}\quad r = -\,\frac{\cos\theta + \sin\theta}{\cos\theta\sin\theta}.çã
\text{Comprimento do semi-latus rectum:}\quad \sqrt{2}.

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