Em cada item, determine uma equação polar para a cônica
, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
.
Passo 1
O enunciado dá a cônica pela equação cartesiana
e pede três coisas:
- encontrar uma equação em coordenadas polares para
(usar a origem usual como polo e medido a partir do eixo ); - determinar o comprimento do semi-latus rectum da cônica;
- fazer um esboço (descrever a forma e pontos importantes para desenhar).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- a equação cartesiana é
; - pedi-se explicitamente a equação polar e o semi-latus rectum.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação em coordenadas polares padrão:
e
. Substituindo em
temos
Isso simplifica para
Fatorando
(lembrando que
representa o polo, um ponto trivial da curva), obtemos, para pontos com
,
Isolando
,
Essa é a equação polar da cônica com polo na origem (além da solução trivial
). Observações práticas:
- onde
ou a expressão tem divisão por zero (essas direções precisam ser tratadas separadamente; nesses ângulos a equação cartesiana pode ser avaliada diretamente); - podemos simplificar/escrever de formas alternativas, por exemplo usando identidades trigonométricas, mas a forma acima já é uma equação polar explícita.
Passo 3
Agora vamos entender que tipo de cônica é essa e calcular parâmetros clássicos (a, b, e, semi-latus rectum). Para facilitar, faça a mudança de variáveis de translação que centraliza a curva: defina
Substituindo
e
na equação original:
Expandindo:
Portanto, em coordenadas
a cônica é simplesmente
Isto mostra que a curva é uma hipérbole equilateral (retangular) com centro em
(pois
corresponde ao centro original).
Passo 4
Para pôr a hipérbole em forma padrão, efetuamos uma rotação de
. Definimos coordenadas rotacionadas
Em termos de
,
Substituindo em
:
ou seja
Esta é a forma padrão de uma hipérbole com centro na origem das coordenadas
. Comparando com a forma padrão
, obtemos
Assim
Passo 5
Agora calculamos os parâmetros importantes da hipérbole padrão:
- a excentricidade é dada por
. Como , temos
- O parâmetro focal (distância do centro até cada foco) é
, portanto
Logo os focos, em coordenadas
, são
.
- O semi-latus rectum (denotado clássicamente por
ou ) para hipérbolas/ elipses é dado por
Com
e
obtemos
Portanto o comprimento do semi-latus rectum da cônica é
. (Explicando em palavras: esse
é o comprimento da corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo transverso; é um parâmetro geométrico padrão ligado à forma da cônica.)
Passo 6
Para voltar aos pontos importantes na coordenada original
:
- centro: em
isto dá ; - vértices: em
e . Voltando a : então em os vértices são e . (Assim confirma-se que o ponto pertence à curva.) - focos em
em . Voltando a : Convertendo para (lembrando ), os focos são
Passo 7
Comentário final sobre a equação polar e sobre o esboço:
- A equação polar direta com polo na origem (a equação que obtivemos ao calcular direto em polares) foi
além do ponto
. Essa é a descrição da mesma curva usando o polo na origem; atenção aos ângulos em que
ou
se anulam (esses ângulos correspondem a direções vertical e horizontal e devem ser tratados avaliando a equação cartesiana diretamente).
- Esboço (instruções para desenhar):
- centro em
; - assimptotas:
e (linhas vertical e horizontal que cruzam no centro); - vértices:
(ramo que passa por esse ponto, no quadrante nordeste em relação ao centro) e (ramo no sudoeste); - os ramos da hipérbole estão nos quadrantes relativos ao centro apontando para nordeste e sudoeste ao longo da direção
; - focos em
e ; - semi-latus rectum
(comprimento do segmento perpendicular ao eixo transverso que passa pelo foco).
- centro em