11 Observe a equação real abaixo:
Sobre a equação supracitada, pode-se afirmar que:
(A) Seu conjunto solução é o conjunto vazio.
(B) Seu conjunto solução só possui uma raiz real irracional.
(C) Seu conjunto solução possui exatamente três raízes reais.
(D) Seu conjunto solução possui duas raízes reais, uma racional e a outra irracional.
(A) Seu conjunto solução é o conjunto vazio.
(B) Seu conjunto solução só possui uma raiz real irracional.
(C) Seu conjunto solução possui exatamente três raízes reais.
(D) Seu conjunto solução possui duas raízes reais, uma racional e a outra irracional.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que escolhamos qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) é verdadeira sobre o conjunto solução dessa equação.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
Não há mais informações externas; a tarefa é resolver a equação e verificar quantas raízes reais existem e sua natureza (racional/irracional).
Passo 2
Determinar o domínio da equação (condição para os logaritmos estarem definidos).
Uma expressão está definida somente se
. Portanto exigimos:
Uma expressão
Da primeira condição obtemos
. Da segunda obtemos
. A interseção é
Conclusão: qualquer solução válida deve satisfazer
.
Passo 3
Usar propriedades de logaritmo para simplificar a soma. Lembra que para logaritmos de mesma base valem as regras:
e
Aplicando aqui:
Logo a soma vira um único logaritmo:
Passo 4
Substituindo na equação original obtemos
Agora usamos a definição inversa do logaritmo:
é equivalente a
Portanto:
Passo 5
Justificativa para quadrar: como estamos no domínio
, temos
e também
; portanto o produto
é não-negativo. O lado direito
é positivo. Assim podemos elevar ao quadrado sem introduzir ambiguidade de sinal (apenas traremos potenciais raízes que já violariam o domínio, as quais depois vamos excluir). Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isso dá:
Passo 6
Expandir cuidadosamente para obter um polinômio. Primeiro
Multiplicando por
:
Igualando a
e passando para o lado esquerdo:
Passo 7
Procurar raízes reais do polinômio cúbico. Pelo Teorema das raízes racionais, possíveis raízes racionais inteiras são divisores de
. Testando valores inteiros notáveis, vemos que
é raiz porque:
Portanto
é fator do polinômio. Fazemos divisão sintética ou divisão de polinômios para fatorar:
Coeficientes: . Dividindo por
(valor
na divisão sintética) obtemos o quociente com coeficientes
. Assim
Coeficientes:
Passo 8
Resolver a quadrática
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Assim as raízes são
Portanto as três raízes algébricas do cúbico são:
Passo 9
Verificar quais dessas raízes pertencem ao domínio
e checar se são soluções da equação original (para descartar extraneous introduzidas ao quadrar). Avaliando:
Como
satisfaz as condições de domínio, e além disso, para
temos
e
então a igualdade original com os logaritmos também é satisfeita (não há troca de sinal problemática). As outras duas raízes foram geradas pela etapa de elevar ao quadrado e são rejeitadas porque violam o domínio (o log é indefinido para elas). Portanto a equação original tem exatamente uma solução real, que é
.
Passo 10
Classificação da raiz restante:
é irracional, então
é irracional. Conclusão: o conjunto solução possui uma única raiz real, e ela é irracional.
Resposta
(B)