12 Considere a matriz real a seguir:
\left[\begin{array}{ccc} x-1 & 2 & 3 \\\\ -4 & 3 & 2 \\\\ 4 & 5 & 3 \end{array}\right]
Sabendo-se que seu determinante é igual a -57 e que \boldsymbol{x} \in \mathbb{R}, pode-se concluir que \boldsymbol{x} é:
(A) Um número negativo.
(B) Um número múltiplo de 4.
(C) Um número divisor de 9 .
(D) Um número primo.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
\left[\begin{array}{ccc} x-1 & 2 & 3 \\\\ -4 & 3 & 2 \\\\ 4 & 5 & 3 \end{array}\right]
e informa que o determinante dessa matriz é igual a -57. Também diz que x\in\mathbb{R}. A pergunta é: qual das alternativas abaixo descreve corretamente x?
(A) Um número negativo.
(B) Um número múltiplo de 4.
(C) Um número divisor de 9.
(D) Um número primo.

Passo 2

Vamos calcular o determinante dessa matriz em função de x. Para uma matriz 3\times3
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}
uma fórmula prática (expansão pela primeira linha) é
\det = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui cada a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j; por exemplo a_{11} é o elemento do canto superior esquerdo. Vamos aplicar essa fórmula à nossa matriz, onde a_{11}=x-1, a_{12}=2, a_{13}=3, a_{21}=-4, a_{22}=3, a_{23}=2, a_{31}=4, a_{32}=5, a_{33}=3.]

Passo 3

Calculemos o primeiro menor e o primeiro termo da expansão:
\begin{aligned} \text{menor}_1 &= a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32} = 3\cdot 3 - 2\cdot 5 = 9 - 10 = -1,\\[4pt] \text{termo}_1 &= a_{11}\cdot\text{menor}_1 = (x-1)\cdot(-1) = -x + 1. \end{aligned}]

Passo 4

Agora o segundo menor e o segundo termo (lembre do sinal negativo na fórmula):
\begin{aligned} \text{menor}_2 &= a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31} = (-4)\cdot 3 - 2\cdot 4 = -12 - 8 = -20,\\[4pt] \text{termo}_2 &= -a_{12}\cdot\text{menor}_2 = -2\cdot(-20) = 40. \end{aligned}]

Passo 5

E o terceiro menor e terceiro termo:
\begin{aligned} \text{menor}_3 &= a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31} = (-4)\cdot 5 - 3\cdot 4 = -20 - 12 = -32,\\[4pt] \text{termo}_3 &= a_{13}\cdot\text{menor}_3 = 3\cdot(-32) = -96. \end{aligned}]

Passo 6

Somando os três termos obtemos o determinante em função de x:
\det = (-x+1) + 40 + (-96) = -x - 55.
Como o enunciado dá \det = -57, temos a equação
-x - 55 = -57.
Resolvendo:
-x = -57 + 55 = -2 \quad\Rightarrow\quad x = 2.

Passo 7

Agora verifiquemos as alternativas usando x=2:
  • (A) “Um número negativo”: 2 é positivo, logo falso.
  • (B) “Um número múltiplo de 4”: múltiplos de 4 são 0,4,8,\dots; 2 não é múltiplo de 4, logo falso.
  • (C) “Um número divisor de 9”: divisores inteiros positivos de 9 são 1,3,9; 2 não divide 9, logo falso.
  • (D) “Um número primo”: 2 é primo (é maior que 1 e seus únicos divisores positivos são 1 e 2), logo verdadeiro.
Portanto a alternativa correta é a (D).

Resposta

(D) Um número primo.

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