11- A uma partícula é imposto um deslocamento
ao longo de uma linha reta. Durante esse deslocamento, uma força constante
atua sobre a partícula. Determine o trabalho realizado pela força. Determine também a componente da força na direção do deslocamento.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados (pego diretamente do enunciado):
- Deslocamento:
. - Força constante:
.
- Deslocamento:
-
Perguntas:
- Determinar o trabalho realizado pela força durante esse deslocamento.
- Determinar a componente da força na direção do deslocamento.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem):
- Trabalho realizado por uma força constante quando o ponto de aplicação se desloca por
: o trabalho é o produto escalar entre e . Fórmula:
Aqui
é o trabalho (se os vetores estão em unidades do SI,
vem em joules). O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores
e
é:
Isto é uma forma algébrica. Geometricamente,
, onde
é o ângulo entre os vetores.
- Componente da força na direção do deslocamento: normalmente pedem a componente escalar (o valor da força ao longo da direção do deslocamento). Para isso primeiro se usa o vetor unitário na direção do deslocamento:
onde
é o módulo (comprimento) do deslocamento. A componente escalar de
na direção de
é
Também podemos dar a componente vetorial (o vetor projeção de
sobre a direção do deslocamento):
Passo 3
Calcular o produto escalar
passo a passo usando a forma algébrica:
Agora faço as multiplicações:
Somando:
Passo 4
Concluir o trabalho usando a fórmula
:
Se os vetores estiverem em unidades do SI (
para força e
para deslocamento), então
. Mesmo que a unidade não tenha sido dada no enunciado, o valor numérico do trabalho é
.
Passo 5
Calcular o módulo do deslocamento
(necessário para a componente):
Passo 6
Calcular a componente escalar da força na direção do deslocamento usando
Substituindo os valores que já obtivemos:
Este é o valor da componente de
ao longo da direção do deslocamento (em mesmas unidades de força).
Passo 7
Opcional — obter a componente vetorial (projeção de
sobre a direção do deslocamento), para quem quiser o vetor:
- Primeiro o vetor unitário na direção do deslocamento:
- A projeção vetorial é
Podemos distribuir:
Passo 8
Pequena verificação de consistência (para criar confiança): o trabalho também pode ser visto como o produto da componente escalar da força pelo deslocamento:
o que bate com o cálculo direto do produto escalar.