11- A uma partícula é imposto um deslocamento \Delta \vec{s}=2 \hat{i}+5 \hat{j} ao longo de uma linha reta. Durante esse deslocamento, uma força constante \vec{F}=3 \hat{i}+4 \hat{j} atua sobre a partícula. Determine o trabalho realizado pela força. Determine também a componente da força na direção do deslocamento.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados (pego diretamente do enunciado):
    • Deslocamento: \Delta \vec{s} = 2\hat{i} + 5\hat{j}.
    • Força constante: \vec{F} = 3\hat{i} + 4\hat{j}.
  • Perguntas:
    1. Determinar o trabalho realizado pela força durante esse deslocamento.
    2. Determinar a componente da força na direção do deslocamento.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando bem):
  • Trabalho realizado por uma força constante quando o ponto de aplicação se desloca por \Delta \vec{s}: o trabalho é o produto escalar entre \vec{F} e \Delta \vec{s}. Fórmula:
W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s}.
Aqui W é o trabalho (se os vetores estão em unidades do SI, W vem em joules). O produto escalar (ou dot product) entre dois vetores \vec{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j} e \vec{b}=b_x\hat{i}+b_y\hat{j} é:
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Isto é uma forma algébrica. Geometricamente, \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores.
  • Componente da força na direção do deslocamento: normalmente pedem a componente escalar (o valor da força ao longo da direção do deslocamento). Para isso primeiro se usa o vetor unitário na direção do deslocamento:
\hat{u}_s = \frac{\Delta\vec{s}}{|\Delta\vec{s}|},
onde |\Delta\vec{s}| é o módulo (comprimento) do deslocamento. A componente escalar de \vec{F} na direção de \Delta\vec{s} é
F_{\parallel} = \vec{F}\cdot\hat{u}_s = \frac{\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}}{|\Delta\vec{s}|}.
Também podemos dar a componente vetorial (o vetor projeção de \vec{F} sobre a direção do deslocamento):
\vec{F}_{\parallel} = (\vec{F}\cdot\hat{u}_s)\,\hat{u}_s.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot\Delta\vec{s} passo a passo usando a forma algébrica:
\vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = (3)(2) + (4)(5).
Agora faço as multiplicações:
(3)(2)=6,\qquad (4)(5)=20.
Somando:
\vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = 6 + 20 = 26.

Passo 4

Concluir o trabalho usando a fórmula W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}:
W = 26.
Se os vetores estiverem em unidades do SI ( \text{N} para força e \text{m} para deslocamento), então W=26\\ \text{J}. Mesmo que a unidade não tenha sido dada no enunciado, o valor numérico do trabalho é 26.

Passo 5

Calcular o módulo do deslocamento |\Delta\vec{s}| (necessário para a componente):
|\Delta\vec{s}| = \sqrt{2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}.

Passo 6

Calcular a componente escalar da força na direção do deslocamento usando
F_{\parallel} = \frac{\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}}{|\Delta\vec{s}|}.
Substituindo os valores que já obtivemos:
F_{\parallel} = \frac{26}{\sqrt{29}}.
Este é o valor da componente de \vec{F} ao longo da direção do deslocamento (em mesmas unidades de força).

Passo 7

Opcional — obter a componente vetorial (projeção de \vec{F} sobre a direção do deslocamento), para quem quiser o vetor:
  • Primeiro o vetor unitário na direção do deslocamento:
\hat{u}_s = \frac{\Delta\vec{s}}{|\Delta\vec{s}|} = \frac{2\hat{i}+5\hat{j}}{\sqrt{29}}.
  • A projeção vetorial é
\vec{F}_{\parallel} = F_{\parallel}\,\hat{u}_s = \frac{26}{\sqrt{29}}\cdot\frac{2\hat{i}+5\hat{j}}{\sqrt{29}} = \frac{26}{29}(2\hat{i}+5\hat{j}).
Podemos distribuir:
\vec{F}_{\parallel} = \frac{52}{29}\hat{i} + \frac{130}{29}\hat{j}.

Passo 8

Pequena verificação de consistência (para criar confiança): o trabalho também pode ser visto como o produto da componente escalar da força pelo deslocamento:
W = F_{\parallel}\,|\Delta\vec{s}| = \frac{26}{\sqrt{29}}\cdot\sqrt{29} = 26,
o que bate com o cálculo direto do produto escalar.

Resposta

W = 26
F_{\parallel} = \dfrac{26}{\sqrt{29}}

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