9- Uma bola de boliche de raio R e massa M está rolando sem deslizar sobre uma superficie horizontal a velocidade v_{0}. Ao final da pista a bola de boliche ainda rola sem deslizar para cima em uma rampa a uma altura h, antes de parar momentaneamente e rolar de volta para baixo. Encontre h.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Dados fornecidos:
    • Uma bola de boliche de raio R e massa M.
    • A bola rola sem deslizar sobre a superfície horizontal com velocidade linear inicial \,v_{0}.
    • Em seguida a bola sobe por uma rampa até atingir uma altura h onde para momentaneamente e então volta a descer.
  • O que é pedido:
    • Determinar a altura h máxima que a bola alcança (em função de v_{0}, g e constantes).

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar — explicados como numa aulinha rápida.
  • Conservação de energia mecânica: em ausência de atrito deslizante e de perdas por atrito com o eixo (a condição “rola sem deslizar” implica que não há perda de energia por deslizamento), a energia mecânica total (energia cinética translacional + energia cinética rotacional + energia potencial gravitacional) se conserva. Ou seja, a energia inicial na parte horizontal será transformada em energia potencial quando a bola subir.
  • Energia cinética translacional: para um corpo maciço que se desloca com velocidade linear v a energia é
\text{KE}_{\text{trans}}=\tfrac{1}{2}M v^{2},
onde M é a massa e v a velocidade do centro de massa.
  • Energia cinética rotacional: se o corpo gira com velocidade angular \omega em torno de seu centro de massa, a energia rotacional é
\text{KE}_{\text{rot}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e \omega é a velocidade angular.
  • Rolamento sem deslizar: nessa condição a velocidade linear do centro é relacionada à velocidade angular por
v=\omega R.
Isso vem da condição de que o ponto de contato tem velocidade instantânea nula relativa à superfície.

Passo 3

Escolher o momento de inércia I adequado para a bola de boliche.
  • Uma bola de boliche é bem modelada por uma esfera sólida homogênea. O momento de inércia de uma esfera sólida de massa M e raio R em torno de um eixo que passa pelo centro é
I=\tfrac{2}{5}M R^{2}.
Vou usar esse I no cálculo. (Se a bola fosse oca ou de distribuição diferente de massa, o I mudaria e a resposta final teria outro fator numérico.)

Passo 4

Escrever a energia mecânica inicial quando a bola está na superfície horizontal, antes de subir a rampa.
  • A bola tem energia cinética translacional
\text{KE}_{\text{trans,0}}=\tfrac{1}{2}M v_{0}^{2}.
  • E tem energia cinética rotacional. Usando I=\tfrac{2}{5}M R^{2} e \omega_{0}=v_{0}/R (pela condição de rolamento sem deslizar), temos
\text{KE}_{\text{rot,0}}=\tfrac{1}{2}I\omega_{0}^{2} =\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{2}{5}M R^{2}\right)\left(\dfrac{v_{0}}{R}\right)^{2}.

Passo 5

Calcular explicitamente a energia rotacional inicial simplificando a expressão.
  • Simplificando a expressão da energia rotacional:
\text{KE}_{\text{rot,0}} =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}M R^{2}\cdot\dfrac{v_{0}^{2}}{R^{2}} =\tfrac{1}{5}M v_{0}^{2}.

Passo 6

Somar as energias cinéticas para obter a energia mecânica inicial total.
  • Energia cinética total inicial:
E_{\text{inicial}}=\text{KE}_{\text{trans,0}}+\text{KE}_{\text{rot,0}} =\tfrac{1}{2}M v_{0}^{2}+\tfrac{1}{5}M v_{0}^{2}.
  • Colocando em comum denomidador:
E_{\text{inicial}}=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{5}\right)M v_{0}^{2} =\left(\tfrac{5}{10}+\tfrac{2}{10}\right)M v_{0}^{2} =\tfrac{7}{10}M v_{0}^{2}.

Passo 7

Aplicar conservação de energia para encontrar h.
  • No ponto mais alto, a velocidade do centro de massa é zero e a bola para momentaneamente, então toda a energia mecânica inicial virou energia potencial gravitacional:
E_{\text{inicial}}=M g h.
  • Substituindo E_{\text{inicial}}=\tfrac{7}{10}M v_{0}^{2} e cancelando M:
\tfrac{7}{10}v_{0}^{2}=g h.
  • Resolvendo para h:
h=\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{v_{0}^{2}}{g}.

Passo 8

Interpretação, unidades e pequeno reforço intuitivo.
  • A expressão final é
h=\dfrac{7}{10}\dfrac{v_{0}^{2}}{g}.
Unidades: \,v_{0}^{2} tem unidades de \mathrm{m^{2}/s^{2}} e g tem unidades de \mathrm{m/s^{2}}, logo h sai em metros — coerente.
  • Intuição: parte da energia inicial está “presa” na rotação da bola, portanto a altura máxima é menor do que se toda a energia fosse só translacional. O fator \tfrac{7}{10} resulta da soma \tfrac{1}{2} (translação) + \tfrac{1}{5} (rotação) para a esfera sólida.

Resposta

h=\dfrac{7}{10}\dfrac{v_{0}^{2}}{g}

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