9- Uma bola de boliche de raio
e massa
está rolando sem deslizar sobre uma superficie horizontal a velocidade
. Ao final da pista a bola de boliche ainda rola sem deslizar para cima em uma rampa a uma altura
, antes de parar momentaneamente e rolar de volta para baixo. Encontre
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Dados fornecidos:
- Uma bola de boliche de raio
e massa . - A bola rola sem deslizar sobre a superfície horizontal com velocidade linear inicial
. - Em seguida a bola sobe por uma rampa até atingir uma altura
onde para momentaneamente e então volta a descer.
- Uma bola de boliche de raio
-
O que é pedido:
- Determinar a altura
máxima que a bola alcança (em função de , e constantes).
- Determinar a altura
Passo 2
Conceitos físicos que vamos usar — explicados como numa aulinha rápida.
-
Conservação de energia mecânica: em ausência de atrito deslizante e de perdas por atrito com o eixo (a condição “rola sem deslizar” implica que não há perda de energia por deslizamento), a energia mecânica total (energia cinética translacional + energia cinética rotacional + energia potencial gravitacional) se conserva. Ou seja, a energia inicial na parte horizontal será transformada em energia potencial quando a bola subir.
-
Energia cinética translacional: para um corpo maciço que se desloca com velocidade linear
a energia é
onde
é a massa e
a velocidade do centro de massa.
- Energia cinética rotacional: se o corpo gira com velocidade angular
em torno de seu centro de massa, a energia rotacional é
onde
é o momento de inércia em relação ao eixo de rotação e
é a velocidade angular.
- Rolamento sem deslizar: nessa condição a velocidade linear do centro é relacionada à velocidade angular por
Isso vem da condição de que o ponto de contato tem velocidade instantânea nula relativa à superfície.
Passo 3
Escolher o momento de inércia
adequado para a bola de boliche.
- Uma bola de boliche é bem modelada por uma esfera sólida homogênea. O momento de inércia de uma esfera sólida de massa
e raio em torno de um eixo que passa pelo centro é
Vou usar esse
no cálculo. (Se a bola fosse oca ou de distribuição diferente de massa, o
mudaria e a resposta final teria outro fator numérico.)
Passo 4
Escrever a energia mecânica inicial quando a bola está na superfície horizontal, antes de subir a rampa.
- A bola tem energia cinética translacional
- E tem energia cinética rotacional. Usando
e (pela condição de rolamento sem deslizar), temos
Passo 5
Calcular explicitamente a energia rotacional inicial simplificando a expressão.
- Simplificando a expressão da energia rotacional:
Passo 6
Somar as energias cinéticas para obter a energia mecânica inicial total.
- Energia cinética total inicial:
- Colocando em comum denomidador:
Passo 7
Aplicar conservação de energia para encontrar
.
- No ponto mais alto, a velocidade do centro de massa é zero e a bola para momentaneamente, então toda a energia mecânica inicial virou energia potencial gravitacional:
- Substituindo
e cancelando :
- Resolvendo para
:
Passo 8
Interpretação, unidades e pequeno reforço intuitivo.
- A expressão final é
Unidades:
tem unidades de
e
tem unidades de
, logo
sai em metros — coerente.
- Intuição: parte da energia inicial está “presa” na rotação da bola, portanto a altura máxima é menor do que se toda a energia fosse só translacional. O fator
resulta da soma (translação) + (rotação) para a esfera sólida.