2.30 Numa experiência de circuitos elétricos RC simples, obteve-se a seguinte tabela referente à tensāo no resistor durante o processo de carregamento do capacitor:
70,0
36,0
17,0
8,20
4,80
3,50
2,30
6,00
15,50
28,06
38,58
48,78
52,52
58,29
Sabendo que a equaçáo de
em funçáo do tempo é expressa po
, construa o gráfico de
, em papel monolog (semilog), determine, a partir do gráfico:
a) a constante de tempo (produto RC), experimentalmente obtida;
b) a tensão inicial
, em volts.
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70,0 | 36,0 | 17,0 | 8,20 | 4,80 | 3,50 | 2,30 |
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6,00 | 15,50 | 28,06 | 38,58 | 48,78 | 52,52 | 58,29 |
a) a constante de tempo (produto RC), experimentalmente obtida;
b) a tensão inicial
Passo 1
O enunciado fornece a tabela com a tensão no resistor
durante o carregamento do capacitor e pede para, a partir do gráfico em papel semilog (e/ou transformações equivalentes), determinar:
- (a) a constante de tempo (produto)
, experimentalmente obtida; - (b) a tensão inicial
(em volts).
Peguei os dados da tabela do enunciado:
- Tensões
(em V): . - Tempos
(em s): .
A equação dada no enunciado está com formatação estranha. A relação física correta para a tensão no resistor durante o carregamento (a corrente decai exponencialmente) é, conforme o modelo exponencial esperado:
Isso é um dado do problema (corrigido para a forma física padrão). O que se pede é extrair
e
a partir dos dados experimentais.
Passo 2
Por que usar papel semilog ou transformar os dados? Explicação didática e simples:
- A equação
é uma exponencial em . Para transformar isso em uma relação linear que possamos ajustar por reta, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
- Nesta forma, se definirmos
e , então temos uma reta:
com inclinação
e intercepto vertical
- Em papel semilog (escala logaritmica no eixo vertical), a curva exponencial aparece como reta; a inclinação dessa reta dá
e o intercepto no tempo zero dá . É por isso que se usa semilog para exponenciais.
Passo 3
Transformação dos dados: calcular
para cada ponto. Aqui estão os valores que peguei da tabela e os respectivos logaritmos naturais (usei log natural):
(Fonte: os
foram os números da tabela; calculei
de cada um.)
Para ajustar uma reta
por mínimos quadrados usaremos as fórmulas padrão:
onde
é o número de pontos.
Passo 4
Calcular as somas necessárias (mostrando as contas principais):
-
. -
-
-
-
Esses valores surgiram somando os produtos
e os quadrados
ponto a ponto a partir da tabela do passo anterior (detalhei as multiplicações no cálculo; pegue esses números como os resultados das contas mostradas).
Agora aplicar a fórmula do coeficiente angular:
Fazendo as contas (mostradas no cálculo):
Passo 5
Interpretar o coeficiente angular e calcular
e
:
- Lembrando que
, temos
- O intercepto:
Portanto
Passo 6
Interpretação final e como faria no papel semilog (dica prática para prova):
- No papel semilog (eixo vertical logaritmico), plote os pontos
. Eles devem alinhar aproximadamente numa reta decrescente. Trace a reta de melhor ajuste (ou ajuste à mão passando pela “média” dos pontos). Meça a inclinação da reta: se usar escala natural do semilog (marcações log10), lembre-se de converter a inclinação obtida em base 10 para a inclinação natural por (mais prático: calcule e ajuste linearmente como fiz acima). - A constante de tempo experimental
é o negativo do inverso da inclinação da reta em vs . - A tensão inicial
é obtida exponenciando o intercepto .
Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir o gráfico em papel semilog e extrair os mesmos valores aproximados.