2.30 Numa experiência de circuitos elétricos RC simples, obteve-se a seguinte tabela referente à tensāo no resistor durante o processo de carregamento do capacitor:
V_{R}(V) 70,0 36,0 17,0 8,20 4,80 3,50 2,30
\mathbf{t}(s) 6,00 15,50 28,06 38,58 48,78 52,52 58,29
Sabendo que a equaçáo de \mathrm{V}_{\mathrm{R}} em funçáo do tempo é expressa po V_{R}=V_{0} e^{\left(\frac{1}{R C}\right)^{\ell}}, construa o gráfico de V_{R} \times t, em papel monolog (semilog), determine, a partir do gráfico:
a) a constante de tempo (produto RC), experimentalmente obtida;
b) a tensão inicial V_{0}, em volts.

Passo 1

O enunciado fornece a tabela com a tensão no resistor V_{R} durante o carregamento do capacitor e pede para, a partir do gráfico em papel semilog (e/ou transformações equivalentes), determinar:
  • (a) a constante de tempo (produto) RC, experimentalmente obtida;
  • (b) a tensão inicial V_{0} (em volts).
Peguei os dados da tabela do enunciado:
  • Tensões V_{R} (em V): 70{,}0,\;36{,}0,\;17{,}0,\;8{,}20,\;4{,}80,\;3{,}50,\;2{,}30.
  • Tempos t (em s): 6{,}00,\;15{,}50,\;28{,}06,\;38{,}58,\;48{,}78,\;52{,}52,\;58{,}29.
A equação dada no enunciado está com formatação estranha. A relação física correta para a tensão no resistor durante o carregamento (a corrente decai exponencialmente) é, conforme o modelo exponencial esperado:
V_{R}(t)=V_{0}\,e^{-t/(RC)}.
Isso é um dado do problema (corrigido para a forma física padrão). O que se pede é extrair RC e V_{0} a partir dos dados experimentais.

Passo 2

Por que usar papel semilog ou transformar os dados? Explicação didática e simples:
  • A equação \,V_{R}(t)=V_{0}\,e^{-t/(RC)}\, é uma exponencial em t. Para transformar isso em uma relação linear que possamos ajustar por reta, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln V_{R}(t)=\ln V_{0}-\frac{t}{RC}.
  • Nesta forma, se definirmos y=\ln V_{R} e x=t, então temos uma reta:
y = \ln V_{0} + m\,x,
com inclinação
m=-\frac{1}{RC}
e intercepto vertical
b=\ln V_{0}.
  • Em papel semilog (escala logaritmica no eixo vertical), a curva exponencial aparece como reta; a inclinação dessa reta dá -1/(RC) e o intercepto no tempo zero dá \ln V_{0}. É por isso que se usa semilog para exponenciais.

Passo 3

Transformação dos dados: calcular y_i=\ln V_{R,i} para cada ponto. Aqui estão os valores que peguei da tabela e os respectivos logaritmos naturais (usei log natural):
\begin{array}{c|c|c} \text{índice} & t_i\\ (\text{s}) & \ln V_{R,i} \\\ \hline 1 & 6{,}00 & 4{,}248495 \\\\ 2 & 15{,}50 & 3{,}583519 \\\\ 3 & 28{,}06 & 2{,}833213 \\\\ 4 & 38{,}58 & 2{,}104134 \\\\ 5 & 48{,}78 & 1{,}568616 \\\\ 6 & 52{,}52 & 1{,}252763 \\\\ 7 & 58{,}29 & 0{,}832909 \\\ \end{array}
(Fonte: os V_{R} foram os números da tabela; calculei \ln de cada um.)
Para ajustar uma reta y = b + m x por mínimos quadrados usaremos as fórmulas padrão:
m=\frac{n\sum t_i y_i - \sum t_i \sum y_i}{n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i - m\sum t_i}{n},
onde n=7 é o número de pontos.

Passo 4

Calcular as somas necessárias (mostrando as contas principais):
  • n=7.
  • \sum t_i = 247{,}73\\ \text{s}.
  • \sum y_i = \sum \ln V_{R,i} = 16{,}423649.
  • \sum t_i y_i \approx 432{,}57543.
  • \sum t_i^2 \approx 11087{,}5929.
Esses valores surgiram somando os produtos t_i y_i e os quadrados t_i^2 ponto a ponto a partir da tabela do passo anterior (detalhei as multiplicações no cálculo; pegue esses números como os resultados das contas mostradas).
Agora aplicar a fórmula do coeficiente angular:
m=\frac{7\cdot(432{,}57543)-247{,}73\cdot16{,}423649}{7\cdot11087{,}5929-(247{,}73)^2}.
Fazendo as contas (mostradas no cálculo):
m \approx -0{,}06407\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Interpretar o coeficiente angular e calcular RC e V_{0}:
  • Lembrando que m=-\dfrac{1}{RC}, temos
RC = -\frac{1}{m} \approx -\frac{1}{-0{,}06407}\\ \text{s} \approx 15{,}6\\ \text{s}.
  • O intercepto:
b=\ln V_{0}=\frac{\sum y_i - m\sum t_i}{n}\approx 4{,}61362.
Portanto
V_{0}=e^{b}\approx e^{4{,}61362}\approx 100{,}8\\ \text{V}.

Passo 6

Interpretação final e como faria no papel semilog (dica prática para prova):
  • No papel semilog (eixo vertical logaritmico), plote os pontos (t_i,V_{R,i}). Eles devem alinhar aproximadamente numa reta decrescente. Trace a reta de melhor ajuste (ou ajuste à mão passando pela “média” dos pontos). Meça a inclinação da reta: se usar escala natural do semilog (marcações log10), lembre-se de converter a inclinação obtida em base 10 para a inclinação natural por \ln (mais prático: calcule \ln V_{R} e ajuste y linearmente como fiz acima).
  • A constante de tempo experimental RC é o negativo do inverso da inclinação da reta em (\ln V_R) vs t.
  • A tensão inicial V_{0} é obtida exponenciando o intercepto \ln V_{0}.
Força aí — com esse passo a passo você consegue reproduzir o gráfico em papel semilog e extrair os mesmos valores aproximados.

Resposta

RC \approx 15{,}6\\ \text{s}
V_{0} \approx 100{,}8\\ \text{V}

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