[ 11 / 2 Pontos] Sejam \alpha, \beta \in \mathbb{R} tais que
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}+\alpha x+\alpha}{x^{2}-1}=\beta
Determine \alpha e \beta.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\lim_{x\to 1} \frac{2x^{3}+\alpha x+\alpha}{x^{2}-1}=\beta,
com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, e pede para determinar \alpha e \beta.
Informações relevantes:
\text{(i)}\quad \text{o limite quando }x\to 1\text{ existe e é igual a }\beta\\ (\text{um número finito});éú
\text{(ii)}\quad \text{o numerador é }2x^{3}+\alpha x+\alpha;é
\text{(iii)}\quad \text{o denominador é }x^{2}-1=(x-1)(x+1).é
Perguntas do enunciado:
\text{(A) Determinar }\alpha.
\text{(B) Determinar }\beta.

Passo 2

Primeiro ponto teórico necessário (explicação): se \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{N(x)}{D(x)} existe e é finito, e se D(x)\to 0 quando x\to1, então necessariamente N(x)\to 0 quando x\to1. Caso contrário, se N(1)\neq 0 (ou o limite de N não for zero), a razão tenderia a \pm\infty e o limite não seria um número real finito. Aqui D(x)=x^{2}-1 tem D(1)=0, logo para que o limite seja finito devemos ter N(1)=0.
Aplicando isso ao nosso caso: o numerador é N(x)=2x^{3}+\alpha x+\alpha. Avaliando em x=1 obtemos
N(1)=2\cdot1^{3}+\alpha\cdot1+\alpha=2+2\alpha.
Pelo raciocínio acima, devemos ter N(1)=0. Portanto
2+2\alpha=0.

Passo 3

Resolvendo 2+2\alpha=0 para \alpha:
2+2\alpha=0 \Longrightarrow 2\alpha=-2 \Longrightarrow \alpha=-1.
Então já temos \alpha=-1. (Breve comentário didático: encontrámos \alpha impondo que o numerador tenha raiz em x=1, porque o denominador também zera em x=1.)

Passo 4

Agora substituímos \alpha=-1 na expressão original para calcular \beta. O numerador fica
2x^{3}+\alpha x+\alpha = 2x^{3}-x-1.
Como sabemos que x=1 é raiz desse polinômio (pois fizemos N(1)=0), podemos fatorá-lo com (x-1). Procuramos constantes a,b,c tais que
2x^{3}-x-1=(x-1)(ax^{2}+bx+c).
Expandindo o lado direito:
(x-1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c.
Comparando coeficientes com 2x^{3}+0x^{2}-x-1 obtemos o sistema
a=2,\quad b-a=0,\quad c-b=-1,\quad -c=-1.
Dessa sequência segue a=2, b=2, c=1. Assim a fatoração é
2x^{3}-x-1=(x-1)(2x^{2}+2x+1).

Passo 5

O denominador fatorado é
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para x\neq 1 podemos simplificar a fração cancelando (x-1):
\frac{2x^{3}-x-1}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(2x^{2}+2x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2x^{2}+2x+1}{x+1}\quad (x\neq 1).
Como a função simplificada é contínua em x=1, o limite quando x\to1 é simplesmente o valor desta expressão em x=1. Portanto
\beta=\lim_{x\to 1}\frac{2x^{3}-x-1}{x^{2}-1}=\left.\frac{2x^{2}+2x+1}{x+1}\right|_{x=1}=\frac{2\cdot1^{2}+2\cdot1+1}{1+1}=\frac{5}{2}.

Resposta

\alpha=-1\n \beta=\dfrac{5}{2}

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