[
Pontos] Sejam
tais que
Determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
com
, e pede para determinar
e
.
Informações relevantes:
Perguntas do enunciado:
Passo 2
Primeiro ponto teórico necessário (explicação): se
existe e é finito, e se
quando
, então necessariamente
quando
. Caso contrário, se
(ou o limite de
não for zero), a razão tenderia a
e o limite não seria um número real finito. Aqui
tem
, logo para que o limite seja finito devemos ter
.
Aplicando isso ao nosso caso: o numerador é
. Avaliando em
obtemos
Pelo raciocínio acima, devemos ter
. Portanto
Passo 3
Resolvendo
para
:
Então já temos
. (Breve comentário didático: encontrámos
impondo que o numerador tenha raiz em
, porque o denominador também zera em
.)
Passo 4
Agora substituímos
na expressão original para calcular
. O numerador fica
Como sabemos que
é raiz desse polinômio (pois fizemos
), podemos fatorá-lo com
. Procuramos constantes
tais que
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
obtemos o sistema
Dessa sequência segue
,
,
. Assim a fatoração é
Passo 5
O denominador fatorado é
Para
podemos simplificar a fração cancelando
:
Como a função simplificada é contínua em
, o limite quando
é simplesmente o valor desta expressão em
. Portanto