Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função
tal que
seja igual ao integrando. A integral é
Informações relevantes dadas:
é uma integral indefinida (precisamos acrescentar constante de integração
). A pergunta é: qual é a primitiva
dessa função?
Passo 2
Usamos duas propriedades básicas de integrais que são fundamentais e muito úteis:
- Linearidade da integral: para constantes
e e funções e ,
Aqui
e
são números reais (constantes) e
são funções. Isso permite separar a soma dentro da integral e puxar constantes para fora.
2) A constante de integração: ao final devemos adicionar uma constante .
2) A constante de integração: ao final devemos adicionar uma constante
Aplicando a linearidade ao nosso caso:
Passo 3
Agora precisamos saber como integrar exponenciais da forma
. A regra é:
Por que isso vale? Porque a derivada de
é
. Portanto ao buscar uma função cuja derivada seja
multiplicamos por
para compensar o fator
.
Aplicando para
:
Passo 4
Para
podemos usar a mesma regra com
ou fazer uma substituição explícita para ficar bem didático. Faço a substituição:
defina . Então
, ou seja
.
defina
Voltando para
(pois
):
Isso coincide com a regra geral
para
, pois
.
Passo 5
Voltando à expressão inicial e somando os resultados (lembrando do fator
):
onde juntei as constantes
e
numa única constante
. Simplificando,
Passo 6
Observação útil: a função hiperbólica seno é definida por
Portanto a primitiva pode ser escrita de maneira compacta como
. Ambas as formas são equivalentes.