Calcule as primitivas:
\int\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x) seja igual ao integrando. A integral é
\int\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando} = \frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
é uma integral indefinida (precisamos acrescentar constante de integração C). A pergunta é: qual é a primitiva F(x) dessa função?

Passo 2

Usamos duas propriedades básicas de integrais que são fundamentais e muito úteis:
  1. Linearidade da integral: para constantes a e b e funções f e g,
\int \bigl(a f(x) + b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aqui a e b são números reais (constantes) e f,g são funções. Isso permite separar a soma dentro da integral e puxar constantes para fora.
2) A constante de integração: ao final devemos adicionar uma constante C.
Aplicando a linearidade ao nosso caso:
\int\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right) dx = \frac{1}{2}\int\bigl(e^{x}+e^{-x}\bigr)dx = \frac{1}{2}\left(\int e^{x}dx + \int e^{-x}dx\right).

Passo 3

Agora precisamos saber como integrar exponenciais da forma \int e^{a x}\,dx. A regra é:
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C,\quad \text{para } a\neq 0.
Por que isso vale? Porque a derivada de e^{a x} é a e^{a x}. Portanto ao buscar uma função cuja derivada seja e^{a x} multiplicamos por 1/a para compensar o fator a.
Aplicando para a=1:
\int e^{x}dx = e^{x} + C_1.

Passo 4

Para \int e^{-x}dx podemos usar a mesma regra com a=-1 ou fazer uma substituição explícita para ficar bem didático. Faço a substituição:
defina u=-x. Então du=-dx, ou seja dx=-du.
\int e^{-x}dx = \int e^{u}(-du) = -\int e^{u}du = -e^{u} + C_2.
Voltando para x (pois u=-x):
\int e^{-x}dx = -e^{-x} + C_2.
Isso coincide com a regra geral \int e^{a x}dx = \frac{1}{a}e^{a x} para a=-1, pois \frac{1}{-1}e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 5

Voltando à expressão inicial e somando os resultados (lembrando do fator \tfrac{1}{2}):
\frac{1}{2}\left(\int e^{x}dx + \int e^{-x}dx\right) = \frac{1}{2}\left(e^{x} + (-e^{-x})\right) + C,
onde juntei as constantes C_1 e C_2 numa única constante C. Simplificando,
\frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) + C.

Passo 6

Observação útil: a função hiperbólica seno é definida por
\operatorname{sinh} x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Portanto a primitiva pode ser escrita de maneira compacta como \operatorname{sinh} x + C. Ambas as formas são equivalentes.

Resposta

\operatorname{sinh} x + C
\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} + C

Exercícios relacionados