Calcule as primitivas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função dada. A função que aparece dentro da integral é
e a integral a ser calculada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A integranda é a soma de três termos:
, e . - Queremos uma primitiva — isto é, uma função
tal que . - Devemos lembrar de incluir a constante de integração, que vou chamar de
.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes multiplicativas saem da integral. Escrevendo isso em forma matemática,
Explico essa propriedade: se
e
são funções integráveis e
são constantes, então
Aqui usamos isso com
.
Passo 3
Calcular
.
Raciocínio: a integral é a operação inversa da derivada. Sabemos que a derivada de
é
, ou seja,
Logo, para obter
como derivada, tomamos
, porque
Portanto
onde
é uma constante de integração (que depois será combinada com as outras constantes).
Passo 4
Calcular
.
Raciocínio: sabemos que a derivada de
é
, isto é,
Então uma primitiva de
é
. Logo
com
constante de integração.
Passo 5
Calcular
.
Raciocínio: a função exponencial tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma:
Por isso, uma primitiva de
é exatamente
. Assim
com
constante.
Passo 6
Agora juntamos as três primitivas obtidas e unificamos as constantes de integração (uma única constante
basta, pois
é uma constante qualquer). Então
Expliquei antes por partes; aqui só somamos os resultados e colocamos uma única constante de integração.
Passo 7
Verificação (importante para ter confiança na resposta): diferenciando a expressão obtida deve voltar a integranda. Calculamos
que é exatamente a função original. Perfeito — a primitiva está correta.
Passo 8
Dica extra e exercício rápido para fixar: se tiveres uma integral parecida, como
, aplica o mesmo raciocínio termo a termo:
logo a primitiva é
. Faz esse tipo de verificação derivando para ganhar prática — é o jeito mais rápido de treinar.