Calcule as primitivas:
\int\left(\operatorname{sen} x+\cos x+e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as primitivas (antiderivadas) da função dada. A função que aparece dentro da integral é
\sin x+\cos x+e^{x},
e a integral a ser calculada é
\int\left(\sin x+\cos x+e^{x}\right)\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A integranda é a soma de três termos: \sin x, \cos x e e^{x}.
  • Queremos uma primitiva — isto é, uma função F(x) tal que \frac{d}{dx}F(x)=\sin x+\cos x+e^{x}.
  • Devemos lembrar de incluir a constante de integração, que vou chamar de \,C.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes multiplicativas saem da integral. Escrevendo isso em forma matemática,
\int\left(\sin x+\cos x+e^{x}\right)\,dx = \int\sin x\,dx+\int\cos x\,dx+\int e^{x}\,dx.
Explico essa propriedade: se f(x) e g(x) são funções integráveis e a,b são constantes, então
\int \big(a f(x)+b g(x)\big)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Aqui usamos isso com a=b=1.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int \sin x\,dx.
Raciocínio: a integral é a operação inversa da derivada. Sabemos que a derivada de \cos x é -\sin x, ou seja,
\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x.
Logo, para obter \sin x como derivada, tomamos -\cos x, porque
\frac{d}{dx}\big(-\cos x\big)= -\big(\frac{d}{dx}\cos x\big)= -(-\sin x)=\sin x.
Portanto
\int \sin x\,dx = -\cos x + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração (que depois será combinada com as outras constantes).

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \cos x\,dx.
Raciocínio: sabemos que a derivada de \sin x é \cos x, isto é,
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x.
Então uma primitiva de \cos x é \sin x. Logo
\int \cos x\,dx = \sin x + C_2,
com C_2 constante de integração.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int e^{x}\,dx.
Raciocínio: a função exponencial tem a propriedade especial de que sua derivada é ela mesma:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Por isso, uma primitiva de e^{x} é exatamente e^{x}. Assim
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_3,
com C_3 constante.

Passo 6

Agora juntamos as três primitivas obtidas e unificamos as constantes de integração (uma única constante C basta, pois C=C_1+C_2+C_3 é uma constante qualquer). Então
\int\left(\sin x+\cos x+e^{x}\right)\,dx = -\cos x + \sin x + e^{x} + C.
Expliquei antes por partes; aqui só somamos os resultados e colocamos uma única constante de integração.

Passo 7

Verificação (importante para ter confiança na resposta): diferenciando a expressão obtida deve voltar a integranda. Calculamos
\frac{d}{dx}\big(-\cos x + \sin x + e^{x} + C\big) = -\big(-\sin x\big) + \cos x + e^{x} + 0 = \sin x + \cos x + e^{x},
que é exatamente a função original. Perfeito — a primitiva está correta.

Passo 8

Dica extra e exercício rápido para fixar: se tiveres uma integral parecida, como \displaystyle \int\big(2\sin x-3\cos x\big)\,dx, aplica o mesmo raciocínio termo a termo:
\int 2\sin x\,dx = -2\cos x,\qquad \int -3\cos x\,dx = -3\sin x,
logo a primitiva é -2\cos x-3\sin x+C. Faz esse tipo de verificação derivando para ganhar prática — é o jeito mais rápido de treinar.

Resposta

-\cos x+\sin x+e^{x}+C

Exercícios relacionados