1.11* A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula como função do tempo:
Como o enunciado original não fez perguntas explícitas, eu vou resolver as questões padrão e úteis para uma prova sobre esse tipo de movimento (essas são as perguntas que normalmente aparecem):
- Calcular o vetor velocidade
. - Calcular o vetor aceleração
. - Determinar a equação da trajetória no plano (eliminar o tempo
). - Calcular a rapidez (módulo da velocidade)
e comentar quando é constante. - Decompor a aceleração nas componentes tangencial
e normal e obter fórmulas explícitas. - Identificar o período do movimento e o caso especial
.
Eu vou resolver todas essas perguntas passo a passo, explicando as fórmulas usadas e fazendo as contas detalhadamente.
Passo 2
Regra de derivação vetorial (aula rápida): se
, então a velocidade é a derivada componente a componente:
Aqui
e
. Para derivar funções trigonométricas usamos:
Essas fórmulas dizem que a derivada de
dá
multiplicada por a derivada do argumento (
), e análogo para
.
Passo 3
Aplicando as derivadas do Passo 2 às componentes:
Portanto o vetor velocidade é
Passo 4
Agora a aceleração: aplicamos a mesma regra de derivação a
. Derivando componente a componente:
Portanto
Observação útil: comparando com
vemos que
Ou seja, a aceleração é proporcional a
(direcionada para a origem), com constante de proporcionalidade
.
Passo 5
Equação da trajetória (eliminar o tempo): escrevemos as coordenadas
e
:
Isolamos
e
:
Usamos a identidade trigonométrica
. Substituindo,
Portanto a trajetória é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior/minor
e
(dependendo de qual é maior).
Passo 6
Rapidez (módulo da velocidade): a rapidez é
. Usamos as componentes obtidas:
Logo
Comentário: essa rapidez geralmente não é constante porque
depende de
, a menos que
. No caso
a rapidez fica
constante — isso corresponde a movimento circular uniforme.
Passo 7
Período do movimento: as funções trigonométricas têm período
. Assim o movimento repete quando
aumenta em
. Portanto o período é
Passo 8
Componentes tangencial e normal da aceleração (fórmulas e cálculo passo a passo):
- Fórmula para componente tangencial:
. Isso vem de que é a derivada da rapidez: . - Fórmula para componente normal:
. Em 2D a magnitude do “produto vetorial” reduz a um determinante que dá a magnitude escalar perpendicular ao plano.
Calculamos o produto escalar
:
Isso simplifica para
Então
Agora o termo normal: em 2D a magnitude do determinante (equivalente a
) é
Calculamos:
Assim
Portanto
Observação interessante: o numerador de
é constante (
), só o denominador muda com
.
Passo 9
Resumo físico e caso especial:
- A aceleração é sempre dirigida para a origem (
), mostrando um movimento oscilatório centrípeto. - Quando
a trajetória é um círculo de raio , a rapidez é constante , e (aceleração normal constante), ou seja, movimento circular uniforme. - Para
a partícula percorre a elipse não uniformemente: rapidez e componentes variam com o tempo conforme as fórmulas acima.
Resposta
Equação da trajetória:
Rapidez:
Período:
Componente tangencial:
Componente normal: