1.11* A posição de uma partícula em movimento é dada como uma função do tempo por
\mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{x}} b \cos (\omega t)+\hat{\mathbf{y}} c \operatorname{sen}(\omega t)

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula como função do tempo:
\mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{x}}\, b\cos(\omega t)+\hat{\mathbf{y}}\, c\sin(\omega t).
Como o enunciado original não fez perguntas explícitas, eu vou resolver as questões padrão e úteis para uma prova sobre esse tipo de movimento (essas são as perguntas que normalmente aparecem):
  1. Calcular o vetor velocidade \mathbf{v}(t).
  2. Calcular o vetor aceleração \mathbf{a}(t).
  3. Determinar a equação da trajetória no plano (eliminar o tempo t).
  4. Calcular a rapidez (módulo da velocidade) \|\mathbf{v}(t)\| e comentar quando é constante.
  5. Decompor a aceleração nas componentes tangencial a_t e normal a_n e obter fórmulas explícitas.
  6. Identificar o período do movimento e o caso especial b=c.
    Eu vou resolver todas essas perguntas passo a passo, explicando as fórmulas usadas e fazendo as contas detalhadamente.

Passo 2

Regra de derivação vetorial (aula rápida): se \mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{x}}\,x(t)+\hat{\mathbf{y}}\,y(t), então a velocidade é a derivada componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\hat{\mathbf{x}}\,x'(t)+\hat{\mathbf{y}}\,y'(t).
Aqui x(t)=b\cos(\omega t) e y(t)=c\sin(\omega t). Para derivar funções trigonométricas usamos:
\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t),\qquad \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t).
Essas fórmulas dizem que a derivada de \cos -\sin multiplicada por a derivada do argumento ( \omega), e análogo para \sin.

Passo 3

Aplicando as derivadas do Passo 2 às componentes:
x'(t)=\frac{d}{dt}\big(b\cos(\omega t)\big)=-b\omega\sin(\omega t),
y'(t)=\frac{d}{dt}\big(c\sin(\omega t)\big)=c\omega\cos(\omega t).
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\hat{\mathbf{x}}\big(-b\omega\sin(\omega t)\big)+\hat{\mathbf{y}}\big(c\omega\cos(\omega t)\big).

Passo 4

Agora a aceleração: aplicamos a mesma regra de derivação a \mathbf{v}(t). Derivando componente a componente:
\frac{d}{dt}\big(-b\omega\sin(\omega t)\big)=-b\omega\cdot\omega\cos(\omega t)=-b\omega^2\cos(\omega t),
\frac{d}{dt}\big(c\omega\cos(\omega t)\big)=c\omega\cdot(-\omega\sin(\omega t))=-c\omega^2\sin(\omega t).
Portanto
\mathbf{a}(t)=\hat{\mathbf{x}}\big(-b\omega^2\cos(\omega t)\big)+\hat{\mathbf{y}}\big(-c\omega^2\sin(\omega t)\big).
Observação útil: comparando com \mathbf{r}(t) vemos que
\mathbf{a}(t)=-\omega^2\mathbf{r}(t).
Ou seja, a aceleração é proporcional a -\mathbf{r} (direcionada para a origem), com constante de proporcionalidade \omega^2.

Passo 5

Equação da trajetória (eliminar o tempo): escrevemos as coordenadas x e y:
x(t)=b\cos(\omega t),\qquad y(t)=c\sin(\omega t).
Isolamos \cos(\omega t) e \sin(\omega t):
\cos(\omega t)=\frac{x}{b},\qquad \sin(\omega t)=\frac{y}{c}.
Usamos a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\sin^2\theta=1. Substituindo,
\left(\frac{x}{b}\right)^2+\left(\frac{y}{c}\right)^2=1.
Portanto a trajetória é uma elipse centrada na origem, com semi-eixo maior/minor b e c (dependendo de qual é maior).

Passo 6

Rapidez (módulo da velocidade): a rapidez é \|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. Usamos as componentes obtidas:
v_x=-b\omega\sin(\omega t),\qquad v_y=c\omega\cos(\omega t).
Logo
\|\mathbf{v}(t)\|=\sqrt{(-b\omega\sin(\omega t))^2+(c\omega\cos(\omega t))^2} =\omega\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}.
Comentário: essa rapidez geralmente não é constante porque b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t) depende de t, a menos que b=c. No caso b=c a rapidez fica \|\mathbf{v}\|=b\omega constante — isso corresponde a movimento circular uniforme.

Passo 7

Período do movimento: as funções trigonométricas têm período \frac{2\pi}{\omega}. Assim o movimento repete quando \omega t aumenta em 2\pi. Portanto o período é
T=\frac{2\pi}{\omega}.

Passo 8

Componentes tangencial e normal da aceleração (fórmulas e cálculo passo a passo):
  • Fórmula para componente tangencial: a_t=\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|}. Isso vem de que a_t é a derivada da rapidez: a_t=d\|\mathbf{v}\|/dt.
  • Fórmula para componente normal: a_n=\dfrac{\|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|}{\|\mathbf{v}\|}. Em 2D a magnitude do “produto vetorial” reduz a um determinante que dá a magnitude escalar perpendicular ao plano.
Calculamos o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=(-b\omega\sin(\omega t))(-b\omega^2\cos(\omega t))+(c\omega\cos(\omega t))(-c\omega^2\sin(\omega t)).
Isso simplifica para
\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}=\omega^3\sin(\omega t)\cos(\omega t)\big(b^2-c^2\big).
Então
a_t=\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}}{\|\mathbf{v}\|} =\omega^2\frac{\big(b^2-c^2\big)\sin(\omega t)\cos(\omega t)}{\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}}.
Agora o termo normal: em 2D a magnitude do determinante (equivalente a \|\mathbf{v}\times\mathbf{a}\|) é
|v_x a_y - v_y a_x|.
Calculamos:
v_x a_y = (-b\omega\sin(\omega t))(-c\omega^2\sin(\omega t))=bc\omega^3\sin^2(\omega t),
v_y a_x = (c\omega\cos(\omega t))(-b\omega^2\cos(\omega t))=-bc\omega^3\cos^2(\omega t).
Assim
|v_x a_y - v_y a_x|=bc\omega^3(\sin^2(\omega t)+\cos^2(\omega t))=bc\omega^3.
Portanto
a_n=\frac{bc\omega^3}{\|\mathbf{v}\|} =\omega^2\frac{bc}{\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}}.
Observação interessante: o numerador de a_n é constante ( bc\omega^2), só o denominador muda com t.

Passo 9

Resumo físico e caso especial:
  • A aceleração é sempre dirigida para a origem ( \mathbf{a}=-\omega^2\mathbf{r}), mostrando um movimento oscilatório centrípeto.
  • Quando b=c a trajetória é um círculo de raio b, a rapidez é constante \|\mathbf{v}\|=b\omega, a_t=0 e a_n=b\omega^2 (aceleração normal constante), ou seja, movimento circular uniforme.
  • Para b\neq c a partícula percorre a elipse não uniformemente: rapidez e componentes variam com o tempo conforme as fórmulas acima.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\hat{\mathbf{x}}\big(-b\omega\sin(\omega t)\big)+\hat{\mathbf{y}}\big(c\omega\cos(\omega t)\big)
\mathbf{a}(t)=\hat{\mathbf{x}}\big(-b\omega^2\cos(\omega t)\big)+\hat{\mathbf{y}}\big(-c\omega^2\sin(\omega t)\big)= -\omega^2\mathbf{r}(t)
Equação da trajetória: \displaystyle \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{c^2}=1 (elipse)
Rapidez: \displaystyle \|\mathbf{v}(t)\|=\omega\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}
Período: \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}
Componente tangencial: \displaystyle a_t=\omega^2\frac{(b^2-c^2)\sin(\omega t)\cos(\omega t)}{\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}}
Componente normal: \displaystyle a_n=\omega^2\frac{bc}{\sqrt{b^2\sin^2(\omega t)+c^2\cos^2(\omega t)}}

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