1.7* Mostre que as duas definições do produto escalar
e
são iguais. Uma maneira de mostrar é escolher o eixo
ao longo da direção
. [Estritamente falando, você deve primeiro se assegurar de que a definição (1.7) é independente da escolha dos eixos. Se você gosta de dar atenção a essas sutilezas, veja o Problema 1.16.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as duas definições do produto escalar são iguais, ou seja que
e
representam a mesma quantidade. Aqui:
-
e são vetores (em ); -
é o comprimento (norma) de ; -
é o comprimento de ; -
é o ângulo entre e ; -
e são as componentes dos vetores em alguma base ortonormal.
O objetivo: partir de uma das definições e mostrar que ela implica a outra. A estratégia sugerida (e que vamos usar) é escolher os eixos de coordenadas de modo que o eixo
(primeira direção) fique alinhado com
. Não vamos ainda calcular nada — só deixamos claro o que precisa ser provado e os dados.
Passo 2
Montando o sistema de coordenadas alinhado com
.
- Defina o vetor unitário na direção de
: Aqui tem norma e aponta na mesma direção de . - Escolha uma base ortonormal
tal que . Ou seja, o primeiro eixo está exatamente na direção de . Isso é possível porque podemos rotacionar o sistema de eixos sem alterar relações geométricas entre vetores. - Escreva as componentes de
nessa base. Como está exatamente na direção de , Aqui significa a primeira componente de nessa base.
Expliquei o que cada símbolo significa e por que é legítimo escolher este sistema de coordenadas: uma rotação da base ortonormal não muda as relações geométricas que queremos provar.
Passo 3
Expressando a primeira componente de
em termos do ângulo
.
- A primeira componente de
nessa base é a projeção de sobre . Por definição de projeção (componente na direção de um vetor unitário), - Geometricamente, a projeção de
sobre a direção de tem comprimento , porque é o ângulo entre e . Portanto Aqui explicitei por que vale : é a definição usual de componente/projeção usando o ângulo entre vetores.
Passo 4
Calcule o produto escalar pela soma das componentes (definição por componentes).
Usando a definição por componentes em nossa base escolhida,
Mas lembrando que
e
para
, isso reduz-se a
Agora substituímos
(do Passo 3) e obtemos
Pronto: a soma das componentes produz exatamente a expressão geométrica.
Passo 5
Uma forma alternativa, curta e útil para a prova (mesma ideia, escrita de modo mais compacto).
- Comece escrevendo
. Então, usando linearidade do produto escalar, - Mas
é justamente a componente de na direção de , ou seja . Assim
Esta forma é útil porque mostra de maneira conceitual que o produto escalar mede “tamanho de um vetor vezes a projeção do outro sobre ele”.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (pequena checagem).
- Tome
e em . - Pela definição por componentes,
- As normas são
e . O ângulo entre eles satisfaz , então . Coincide com a soma das componentes, confirmando o resultado concreto.
Passo 7
Comentários finais e encorajamento (curto).
- Demonstramos que, ao alinhar o primeiro eixo com
, a soma reduz-se imediatamente a vezes a primeira componente de , que é . Assim . - Conceitualmente isso significa: produto escalar = comprimento de
vezes projeção de sobre . Guarde essa interpretação — ela é muito útil em provas e exercícios. - Força aí — está feito e é um resultado elegante e prático!