1.7* Mostre que as duas definições do produto escalar \mathbf{r} \cdot \mathbf{s} \operatorname{como} r s \cos \theta(1.6) e \sum r_{i} s_{i}(1.7) são iguais. Uma maneira de mostrar é escolher o eixo x ao longo da direção \mathbf{r}. [Estritamente falando, você deve primeiro se assegurar de que a definição (1.7) é independente da escolha dos eixos. Se você gosta de dar atenção a essas sutilezas, veja o Problema 1.16.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas definições do produto escalar são iguais, ou seja que
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=rs\cos\theta \quad\text{(definição geométrica)}çãé
e
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\sum_{i} r_{i}s_{i} \quad\text{(definição por componentes)}çã
representam a mesma quantidade. Aqui:
  • \mathbf{r} e \mathbf{s} são vetores (em \mathbb{R}^n);
  • r=\lVert\mathbf{r}\rVert é o comprimento (norma) de \mathbf{r};
  • s=\lVert\mathbf{s}\rVert é o comprimento de \mathbf{s};
  • \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{s};
  • r_i e s_i são as componentes dos vetores em alguma base ortonormal.
O objetivo: partir de uma das definições e mostrar que ela implica a outra. A estratégia sugerida (e que vamos usar) é escolher os eixos de coordenadas de modo que o eixo x (primeira direção) fique alinhado com \mathbf{r}. Não vamos ainda calcular nada — só deixamos claro o que precisa ser provado e os dados.

Passo 2

Montando o sistema de coordenadas alinhado com \mathbf{r}.
  • Defina o vetor unitário na direção de \mathbf{r}: \hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}.Aqui \hat{\mathbf{r}} tem norma 1 e aponta na mesma direção de \mathbf{r}.
  • Escolha uma base ortonormal \{\hat{\mathbf{e}}_1,\hat{\mathbf{e}}_2,\dots,\hat{\mathbf{e}}_n\} tal que \hat{\mathbf{e}}_1=\hat{\mathbf{r}}. Ou seja, o primeiro eixo está exatamente na direção de \mathbf{r}. Isso é possível porque podemos rotacionar o sistema de eixos sem alterar relações geométricas entre vetores.
  • Escreva as componentes de \mathbf{r} nessa base. Como \mathbf{r} está exatamente na direção de \hat{\mathbf{e}}_1, r_1 = r \quad\text{e}\quad r_i=0\\ \text{para}\\ i\ge 2.Aqui r_1 significa a primeira componente de \mathbf{r} nessa base.
Expliquei o que cada símbolo significa e por que é legítimo escolher este sistema de coordenadas: uma rotação da base ortonormal não muda as relações geométricas que queremos provar.

Passo 3

Expressando a primeira componente de \mathbf{s} em termos do ângulo \theta.
  • A primeira componente de \mathbf{s} nessa base é a projeção de \mathbf{s} sobre \hat{\mathbf{e}}_1=\hat{\mathbf{r}}. Por definição de projeção (componente na direção de um vetor unitário), s_1 = \mathbf{s}\cdot\hat{\mathbf{e}}_1 = \mathbf{s}\cdot\hat{\mathbf{r}}.
  • Geometricamente, a projeção de \mathbf{s} sobre a direção de \mathbf{r} tem comprimento s\cos\theta, porque \theta é o ângulo entre \mathbf{s} e \mathbf{r}. Portanto s_1 = s\cos\theta.Aqui explicitei por que s_1 vale s\cos\theta: é a definição usual de componente/projeção usando o ângulo entre vetores.

Passo 4

Calcule o produto escalar pela soma das componentes (definição por componentes).
Usando a definição por componentes em nossa base escolhida,
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=\sum_{i} r_{i}s_{i}.
Mas lembrando que r_1=r e r_i=0 para i\ge2, isso reduz-se a
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r_{1}s_{1} + \sum_{i\ge2} r_i s_i = r\cdot s_1 + 0 = r\,s_1.
Agora substituímos s_1=s\cos\theta (do Passo 3) e obtemos
\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=r\,(s\cos\theta)=rs\cos\theta.
Pronto: a soma das componentes produz exatamente a expressão geométrica.

Passo 5

Uma forma alternativa, curta e útil para a prova (mesma ideia, escrita de modo mais compacto).
  • Comece escrevendo \mathbf{r}=r\hat{\mathbf{r}}. Então, usando linearidade do produto escalar, \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} = (r\hat{\mathbf{r}})\cdot\mathbf{s} = r(\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{s}).
  • Mas \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{s} é justamente a componente de \mathbf{s} na direção de \hat{\mathbf{r}}, ou seja \hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{s}=s\cos\theta. Assim \mathbf{r}\cdot\mathbf{s} = r(s\cos\theta)=rs\cos\theta.
Esta forma é útil porque mostra de maneira conceitual que o produto escalar mede “tamanho de um vetor vezes a projeção do outro sobre ele”.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (pequena checagem).
  • Tome \mathbf{r}=(2,0,0) e \mathbf{s}=(1,\sqrt{3},0) em \mathbb{R}^3.
  • Pela definição por componentes, \mathbf{r}\cdot\mathbf{s}=2\cdot 1 + 0\cdot\sqrt{3}+0\cdot 0 = 2.
  • As normas são r=\lVert\mathbf{r}\rVert=2 e s=\sqrt{1+3}=2. O ângulo entre eles satisfaz \cos\theta=\dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{s}}{rs}=\dfrac{2}{2\cdot2}=\tfrac{1}{2}, então rs\cos\theta=2\cdot2\cdot\tfrac{1}{2}=2. Coincide com a soma das componentes, confirmando o resultado concreto.

Passo 7

Comentários finais e encorajamento (curto).
  • Demonstramos que, ao alinhar o primeiro eixo com \mathbf{r}, a soma \sum r_i s_i reduz-se imediatamente a r vezes a primeira componente de \mathbf{s}, que é s\cos\theta. Assim \sum r_i s_i = rs\cos\theta.
  • Conceitualmente isso significa: produto escalar = comprimento de \mathbf{r} vezes projeção de \mathbf{s} sobre \mathbf{r}. Guarde essa interpretação — ela é muito útil em provas e exercícios.
  • Força aí — está feito e é um resultado elegante e prático!

Resposta

\displaystyle \sum_{i} r_{i}s_{i}=rs\cos\theta

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