11-Em um projeto de inspeção estrutural de uma ponte, a empresa dispõe de 20 engenheiros especialistas cadastrados. Para realizar a primeira vistoria, será necessário formar uma equipe com 4 profissionais que atuarão em conjunto, cada um com atribuições específicas de análise (materiais, geotecnia, cargas e
segurança). De quantas maneiras distintas essa equipe de 4 engenheiros pode ser escolhida?
segurança). De quantas maneiras distintas essa equipe de 4 engenheiros pode ser escolhida?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações importantes:
- Há
engenheiros disponíveis. - Precisa-se formar uma equipe de
profissionais. - Cada um dos
profissionais terá uma atribuição específica e diferente: materiais, geotecnia, cargas e segurança.
A pergunta é: de quantas maneiras distintas essa equipe deengenheiros pode ser escolhida (considerando as atribuições específicas)?
Passo 2
Observação essencial (isso decide o método): como cada membro da equipe terá uma atribuição específica diferente (roles/posições nomeadas), a ordem importa — isto é, escolher os mesmos quatro engenheiros mas trocar quem fica com “materiais” e quem fica com “geotecnia” gera uma equipe distinta. Portanto não usamos combinações simples sem ordem; usamos o conceito de permutações/arranjos sem repetição (escolhas ordenadas).
Passo 3
Definição e fórmula que vamos usar:
- Seja
o número total de elementos disponíveis e o número de posições a preencher (aqui e ). - O número de maneiras de escolher e ordenar
elementos dentre (sem repetição) é a permutação/arranjo , dada por
onde
(lê-se “
fatorial”) é o produto dos inteiros de
até
:
Aqui
representa o número de formas de ordenar
objetos, e dividir por
remove as ordenações das
que não usamos.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso (
,
):
Ao expandir a fração, os fatores de
se cancelam, sobrando apenas o produto dos quatro primeiros termos decrescentes:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo o produto
:
- Primeiro:
. - Depois:
. Calculando: e , então . - Finalmente:
. Calculando: e , então .
Portanto
Passo 6
Verificação alternativa (mesma resposta por outro raciocínio): podemos primeiro escolher quais
engenheiros vão compor o grupo (sem considerar cargos) e depois atribuir as
funções aos escolhidos. O número de maneiras de escolher
sem ordem é a combinação
Depois, para atribuir as
funções aos
escolhidos usamos
maneiras. Assim o total seria
que dá, de novo,
. Isso confirma que o raciocínio está consistente.
Passo 7
Interpretação final e incentivo: existem muitas maneiras — exatamente
— de formar essa equipe de
engenheiros quando as posições são diferentes. Respira: não era tão assustador! Se precisar, a gente treina com um exemplo menor para fixar a ideia (por exemplo com
pessoas para
cargos) e eu te mostro passo a passo.