11-Em um projeto de inspeção estrutural de uma ponte, a empresa dispõe de 20 engenheiros especialistas cadastrados. Para realizar a primeira vistoria, será necessário formar uma equipe com 4 profissionais que atuarão em conjunto, cada um com atribuições específicas de análise (materiais, geotecnia, cargas e
segurança). De quantas maneiras distintas essa equipe de 4 engenheiros pode ser escolhida?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações importantes:
  • 20 engenheiros disponíveis.
  • Precisa-se formar uma equipe de 4 profissionais.
  • Cada um dos 4 profissionais terá uma atribuição específica e diferente: materiais, geotecnia, cargas e segurança.
    A pergunta é: de quantas maneiras distintas essa equipe de 4 engenheiros pode ser escolhida (considerando as atribuições específicas)?

Passo 2

Observação essencial (isso decide o método): como cada membro da equipe terá uma atribuição específica diferente (roles/posições nomeadas), a ordem importa — isto é, escolher os mesmos quatro engenheiros mas trocar quem fica com “materiais” e quem fica com “geotecnia” gera uma equipe distinta. Portanto não usamos combinações simples sem ordem; usamos o conceito de permutações/arranjos sem repetição (escolhas ordenadas).

Passo 3

Definição e fórmula que vamos usar:
  • Seja n o número total de elementos disponíveis e k o número de posições a preencher (aqui n=20 e k=4).
  • O número de maneiras de escolher e ordenar k elementos dentre n (sem repetição) é a permutação/arranjo P(n,k), dada por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se “ n fatorial”) é o produto dos inteiros de 1 até n:
n!=1\cdot2\cdot3\cdots n.
Aqui n! representa o número de formas de ordenar n objetos, e dividir por (n-k)! remove as ordenações das n-k que não usamos.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso ( n=20, k=4):
P(20,4)=\frac{20!}{(20-4)!}=\frac{20!}{16!}.
Ao expandir a fração, os fatores de 16! se cancelam, sobrando apenas o produto dos quatro primeiros termos decrescentes:
\frac{20!}{16!}=20\cdot19\cdot18\cdot17.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo o produto \,20\cdot19\cdot18\cdot17:
  • Primeiro: 20\cdot19=380.
  • Depois: 380\cdot18. Calculando: 380\cdot10=3800 e 380\cdot8=3040, então 380\cdot18=3800+3040=6840.
  • Finalmente: 6840\cdot17. Calculando: 6840\cdot10=68400 e 6840\cdot7=47880, então 6840\cdot17=68400+47880=116280.
Portanto
20\cdot19\cdot18\cdot17=116280.

Passo 6

Verificação alternativa (mesma resposta por outro raciocínio): podemos primeiro escolher quais 4 engenheiros vão compor o grupo (sem considerar cargos) e depois atribuir as 4 funções aos escolhidos. O número de maneiras de escolher 4 sem ordem é a combinação
\binom{20}{4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Depois, para atribuir as 4 funções aos 4 escolhidos usamos 4! maneiras. Assim o total seria
\binom{20}{4}\cdot 4! = \frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot 4! = 20\cdot19\cdot18\cdot17,
que dá, de novo, 116280. Isso confirma que o raciocínio está consistente.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: existem muitas maneiras — exatamente \,116280 — de formar essa equipe de 4 engenheiros quando as posições são diferentes. Respira: não era tão assustador! Se precisar, a gente treina com um exemplo menor para fixar a ideia (por exemplo com 4 pessoas para 2 cargos) e eu te mostro passo a passo.

Resposta

\;116280

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