10- Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?”
Informações dadas: há 8 jogadores disponíveis e o pódio tem 3 posições distintas: primeiro, segundo e terceiro.
Ou seja, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher e ordenar 3 jogadores distintos entre os 8 disponíveis.

Passo 2

Entendendo bem o que é pedido (sem ainda calcular): o pódio é uma escolha ordenada — isto é, a ordem importa. Ter o jogador X em primeiro e o Y em segundo é diferente de ter Y em primeiro e X em segundo. Quando a ordem importa, usamos o princípio de contagem por arranjos/permutações (vou explicar isso devagar).

Passo 3

Princípio multiplicativo (regra do produto), explicado de maneira simples: se uma tarefa pode ser feita em n_1 maneiras e, para cada escolha da primeira tarefa, uma segunda tarefa pode ser feita em n_2 maneiras, então as duas tarefas juntas podem ser feitas em n_1\cdot n_2 maneiras. Para três etapas consecutivas, seria n_1\cdot n_2\cdot n_3.
No nosso caso, construir o pódio é uma sequência de três escolhas sem repetição:
  • escolha do primeiro lugar: há 8 opções;
  • escolha do segundo lugar (já tiramos o primeiro): há 7 opções restantes;
  • escolha do terceiro lugar (já tiramos dois): há 6 opções restantes.
    Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número total de pódios é
8\cdot 7\cdot 6.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo a multiplicação para você poder fazer na prova sem calculadora:
Primeiro calcule 8\cdot 7:
8\cdot 7 = 56.
Agora multiplique por 6:
56\cdot 6 = 336.
Então pela contagem direta chegamos ao valor 336.

Passo 5

Método alternativo (fórmula de arranjos) — útil para exercícios parecidos e para memorizar: a quantidade de arranjos ordenados de k elementos escolhidos dentre n é dada por
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot (n-1)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1.
Aqui n=8 e k=3, então
P(8,3)=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}.
Calcule 8! e 5! de forma prática: note que
8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!
logo
\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6,
o que reproduz a multiplicação do passo anterior e dá 336. Esse caminho ajuda a ver por que a fórmula funciona.

Passo 6

Exemplinho rápido para fixar o conceito: se houvesse 4 jogadores e quiséssemos apenas primeiro e segundo (duas posições), seriam 4\cdot 3=12 pódios possíveis. Mesmo raciocínio, só mudam os números. Você pode fazer assim na prova: multiplicar escolhas sucessivas ou usar P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}.

Resposta

336

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