10- Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?”
Informações dadas: há jogadores disponíveis e o pódio tem
posições distintas: primeiro, segundo e terceiro.
Ou seja, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher e ordenar jogadores distintos entre os
disponíveis.
Informações dadas: há
Ou seja, precisamos contar de quantas maneiras podemos escolher e ordenar
Passo 2
Entendendo bem o que é pedido (sem ainda calcular): o pódio é uma escolha ordenada — isto é, a ordem importa. Ter o jogador
em primeiro e o
em segundo é diferente de ter
em primeiro e
em segundo. Quando a ordem importa, usamos o princípio de contagem por arranjos/permutações (vou explicar isso devagar).
Passo 3
Princípio multiplicativo (regra do produto), explicado de maneira simples: se uma tarefa pode ser feita em
maneiras e, para cada escolha da primeira tarefa, uma segunda tarefa pode ser feita em
maneiras, então as duas tarefas juntas podem ser feitas em
maneiras. Para três etapas consecutivas, seria
.
No nosso caso, construir o pódio é uma sequência de três escolhas sem repetição:
No nosso caso, construir o pódio é uma sequência de três escolhas sem repetição:
- escolha do primeiro lugar: há
opções; - escolha do segundo lugar (já tiramos o primeiro): há
opções restantes; - escolha do terceiro lugar (já tiramos dois): há
opções restantes.
Portanto, pelo princípio multiplicativo, o número total de pódios é
Passo 4
Vamos calcular passo a passo a multiplicação para você poder fazer na prova sem calculadora:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora multiplique por
:
Então pela contagem direta chegamos ao valor
.
Passo 5
Método alternativo (fórmula de arranjos) — útil para exercícios parecidos e para memorizar: a quantidade de arranjos ordenados de
elementos escolhidos dentre
é dada por
onde
(fatorial de
) significa
.
Aqui e
, então
Aqui
Calcule
e
de forma prática: note que
logo
o que reproduz a multiplicação do passo anterior e dá
. Esse caminho ajuda a ver por que a fórmula funciona.
Passo 6
Exemplinho rápido para fixar o conceito: se houvesse
jogadores e quiséssemos apenas primeiro e segundo (duas posições), seriam
pódios possíveis. Mesmo raciocínio, só mudam os números. Você pode fazer assim na prova: multiplicar escolhas sucessivas ou usar
.