8- Um engenheiro precisa instalar baterias em uma planta industrial que possui 15 compartimentos próprios para esse fim. No primeiro dia de montagem, chegam apenas 2 baterias para serem acomodadas nesses compartimentos. De quantos modos distintos essas duas baterias podem ser instaladas?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantos modos distintos duas baterias podem ser instaladas em
) compartimentos?”. Informações dadas: há
) compartimentos distintos disponíveis e chegam
) baterias para serem acomodadas nesses compartimentos. Não há nenhuma outra restrição explícita (por exemplo, duas baterias não podem ficar no mesmo compartimento), então presumimos que cada compartimento comporta no máximo uma bateria.
Passo 2
Antes de partir para as contas, precisamos decidir se as duas baterias são consideradas idênticas (não há diferença entre uma e outra) ou distintas (uma é “bateria A” e a outra “bateria B”). Na maioria dos problemas desse tipo, quando se fala apenas “duas baterias” sem distinguir entre elas, entende-se que são idênticas e o que importa é apenas quais compartimentos ficam ocupados. Portanto vou resolver assumindo que as baterias são idênticas (isto é, a instalação em compartimentos
e
é a mesma que em
e
). Se depois quiseres, explico rápido como muda o resultado se as baterias fossem distintas.
Passo 3
Quando objetos idênticos são colocados em posições distintas e importa apenas quais posições ficam ocupadas (não a ordem), usamos combinações. A ideia é: escolher
) posições entre
) possíveis sem considerar ordem. A fórmula das combinações é
onde
(lê-se "fatorial de
") é o produto dos inteiros de
até
:
Intuição rápida da fórmula: o número de maneiras ordenadas de escolher
posições é
; como a ordem entre as
escolhidas não importa, dividimos por
, que é o número de ordenações de
elementos.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso com
) e
):
Agora simplificamos o fatorial cancelando
) em cima e embaixo:
Calculando passo a passo:
), e
). Logo existem
) maneiras distintas de instalar as duas baterias nos
) compartimentos quando as baterias são idênticas.
Passo 5
Rápida observação extra (para não te deixar na dúvida): se as duas baterias fossem distinguíveis (por exemplo, “bateria A” e “bateria B”), aí a ordem importa e o número de modos seria o número de permutações de
) dentre
), que é
Mas como o enunciado não diferencia as baterias, a resposta correta mais natural é
).