(11 pts) Mostrar que existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Informações dadas que vamos usar:
- A equação a resolver é
.
- O intervalo onde devemos provar a existência de raiz é
.
Informações dadas que vamos usar:
Passo 2
Transformar a equação em uma função cuja raiz procuramos. Subtraindo
dos dois lados obtemos uma função
tal que suas raízes correspondem às soluções da equação original:
Explicação didática: resolver
é equivalente a encontrar
tal que
. Isso é útil porque podemos trabalhar com propriedades das funções (continuidade, sinais, monotonicidade) para garantir existência de solução.
Passo 3
Calcular o valor de
nas extremidades do intervalo dado. Primeiro em
:
Detalhe do cálculo:
,
, então
.
Passo 4
Calcular
em
:
Detalhe do cálculo:
,
, então
.
Passo 5
Observar a mudança de sinal:
e
. Ou seja,
e
têm sinais opostos.
Passo 6
Usar uma ferramenta teórica apropriada (explicada de forma simples): o Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função
é contínua em
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Por que podemos aplicar esse teorema aqui: polinômios (como ) são funções contínuas em todo
, logo são contínuas em particular em
. Como calculamos e vimos que
, todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas.
Por que podemos aplicar esse teorema aqui: polinômios (como
Passo 7
Concluir a existência da raiz: pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um
tal que
ou seja, existe pelo menos uma solução
de
dentro de
.
Passo 8
Comentário extra útil para a prova (não pedido, mas prático): podemos até ver que a raiz é única nesse intervalo porque a derivada é
que é positiva em todo
(pois
e
), portanto
é estritamente crescente em
. Uma função contínua e estritamente crescente que muda de sinal entre as extremidades só pode ter exatamente uma raiz no intervalo. Isso te dá segurança extra na prova: não só existe, como é única nesse intervalo.
Resposta
Existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.