(11 pts) Mostrar que existe pelo menos uma raiz da equação x^{2}=3 x+1 no intervalo \langle 3,4\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe pelo menos uma raiz da equação \,x^{2}=3x+1\, no intervalo \langle 3,4\rangle.
Informações dadas que vamos usar:
\, - A equação a resolver é \,x^{2}=3x+1\,.
\, - O intervalo onde devemos provar a existência de raiz é \,\langle 3,4\rangle.

Passo 2

Transformar a equação em uma função cuja raiz procuramos. Subtraindo 3x+1 dos dois lados obtemos uma função f tal que suas raízes correspondem às soluções da equação original:
f(x)=x^{2}-3x-1.
Explicação didática: resolver \,x^{2}=3x+1\, é equivalente a encontrar x tal que f(x)=0. Isso é útil porque podemos trabalhar com propriedades das funções (continuidade, sinais, monotonicidade) para garantir existência de solução.

Passo 3

Calcular o valor de f nas extremidades do intervalo dado. Primeiro em x=3:
f(3)=3^{2}-3\cdot 3-1=9-9-1=-1.
Detalhe do cálculo: 3^{2}=9, 3\cdot 3=9, então 9-9-1=-1.

Passo 4

Calcular f em x=4:
f(4)=4^{2}-3\cdot 4-1=16-12-1=3.
Detalhe do cálculo: 4^{2}=16, 3\cdot 4=12, então 16-12-1=3.

Passo 5

Observar a mudança de sinal: \,f(3)=-1<0\, e \,f(4)=3>0\,. Ou seja, f(3) e f(4) têm sinais opostos.

Passo 6

Usar uma ferramenta teórica apropriada (explicada de forma simples): o Teorema do Valor Intermediário afirma que se uma função f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos (ou seja, f(a)f(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
Por que podemos aplicar esse teorema aqui: polinômios (como f(x)=x^{2}-3x-1) são funções contínuas em todo \mathbb{R}, logo são contínuas em particular em [3,4]. Como calculamos e vimos que f(3)f(4)=-1\cdot 3<0, todas as hipóteses do teorema estão satisfeitas.

Passo 7

Concluir a existência da raiz: pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in(3,4) tal que
f\text{(c)}=0,
ou seja, existe pelo menos uma solução c de \,x^{2}=3x+1\, dentro de \langle 3,4\rangle.

Passo 8

Comentário extra útil para a prova (não pedido, mas prático): podemos até ver que a raiz é única nesse intervalo porque a derivada é
f'(x)=2x-3,
que é positiva em todo (3,4) (pois 2\cdot 3-3=3>0 e 2\cdot4-3=5>0), portanto f é estritamente crescente em (3,4). Uma função contínua e estritamente crescente que muda de sinal entre as extremidades só pode ter exatamente uma raiz no intervalo. Isso te dá segurança extra na prova: não só existe, como é única nesse intervalo.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação \,x^{2}=3x+1\, no intervalo \langle 3,4\rangle.

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