Usando as regras de derivação, derivar as seguintes funções:
\left(\mathbf{1 1}\right. pts) f(x)=\left(x^{2}+3\right)(2 x-5)+(3 x+2)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\left(x^{2}+3\right)(2x-5)+(3x+2)^{-1}.
Informações dadas:
\text{-- }f(x)\text{ é a soma de um produto }\left(x^{2}+3\right)(2x-5)\text{ e de uma potência negativa }(3x+2)^{-1}.éê
A tarefa é calcular f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Relembrando regras de derivação que vamos usar (mostradas de forma direta e clara):
\text{(Soma)}\quad (u+v)'=u'+v',
\text{(Produto)}\quad (uv)'=u'v+uv',
\text{(Regra da potência / cadeia)}\quad (g(x))^{n}'=n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x),
onde u,v,g são funções diferenciáveis de x e n é um número real. Aqui g'(x) é a derivada de g em relação a x. Também usaremos que a derivada de uma função linear ax+b é a.

Passo 3

Vamos separar a função em partes fáceis de derivar. Defina
u(x)=x^{2}+3,\qquad v(x)=2x-5,\qquad w(x)=(3x+2)^{-1}.
Então
f(x)=u(x)v(x)+w(x).

Passo 4

Calcule as derivadas das funções simples que definimos:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}+3\right)=2x,
porque usamos a regra da potência (x^{2})'=2x e a derivada de constante é 0.
v'(x)=\frac{d}{dx}(2x-5)=2,
pois 2x tem derivada 2 e -5 é constante.
Para w(x)=(3x+2)^{-1} usamos a regra da potência combinada com a cadeia: aqui g(x)=3x+2 e n=-1. Então
w'(x)=-1\,(3x+2)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(3x+2)=-1\,(3x+2)^{-2}\cdot 3=-3(3x+2)^{-2}.

Passo 5

Aplique a regra do produto em u(x)v(x):
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtém-se
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+3)(2x-5)\big)=2x(2x-5)+(x^{2}+3)\cdot 2.

Passo 6

Agora some a derivada do termo w(x) (regra da soma). Assim
f'(x)=2x(2x-5)+(x^{2}+3)\cdot 2 + \big(-3(3x+2)^{-2}\big).
Façamos as contas passo a passo para simplificar os termos polinomiais:
2x(2x-5)=4x^{2}-10x,
(x^{2}+3)\cdot 2=2x^{2}+6.
Somando esses dois:
4x^{2}-10x+2x^{2}+6=6x^{2}-10x+6.
Portanto a derivada final é
f'(x)=6x^{2}-10x+6-3(3x+2)^{-2}.

Resposta

f'(x)=6x^{2}-10x+6-3(3x+2)^{-2}

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