(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
a) Mostre que
, para
;
b) Mostre que
! para
;
c) Seja
. Mostre que
b) Mostre que
c) Seja
Passo 1
O enunciado dá a função Gama por
e pede três coisas:
a) Mostrar que
para
.
b) Mostrar o valor de
quando
é um número natural (isto é,
). (Observação: o resultado clássico é
.)
c) Para
, mostrar que a transformada de Laplace de
satisfaz
Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
As perguntas são exatamente (a), (b) e (c) acima. A resolução começa agora.
Passo 2
Vamos provar (a) usando integração por partes. Primeiro lembro a fórmula de integração por partes: se
e
são funções diferenciáveis, então
No nosso caso queremos aplicar a integração por partes à integral que define
. Escrevemos a definição com
:
Escolhemos para integrar por partes:
Então calculamos
e
:
Passo 3
Aplicando integração por partes com essas escolhas, obtemos
Isto simplifica para
Agora precisamos analisar os termos nas fronteiras
e
.
Passo 4
Justificativa dos termos de fronteira:
-
Para
: o limite é para qualquer real fixo. Uma forma de ver isso é escrever e aplicar L’Hôpital repetidamente (derivando numerador e denominador vezes se for inteiro, ou observar que a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência). Assim o termo em vale . -
Para
: como , porque e . Logo o termo em também é .
Portanto o termo de fronteira
.
Passo 5
Com os termos de fronteira zerados, a igualdade do Passo 3 fica
Mas a integral à direita é exatamente
pela definição. Portanto obtemos a relação de recorrência desejada:
Passo 6
Agora (b). Queremos o valor de
para
. Primeiro calculamos a base:
Usando a relação do Passo 5 com
, temos
e em geral, aplicando a recorrência sucessivas vezes,
Como
, concluímos
(Isto é consistente com a definição de fatorial
e com
.)
Passo 7
Agora (c). Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
razoável, sua transformada é
Queremos calcular
para
(essa condição garante integrabilidade no zero) e
.
Passo 8
Fazemos a mudança de variável
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo na integral,
Colocando os fatores de
em evidência obtemos
A integral
é exatamente a definição de
porque
. Portanto
Passo 9
Comentários finais (didáticos e rápidos):
- A relação
é a peça-chave: ela liga com o fatorial quando é inteiro. - Em (b) vimos que
. Exemplo concreto: . - Em (c) a condição
garante que não cause divergência na vizinhança de (pois é integrável em quando ), e garante decaimento exponencial em .
Resposta
a)
para
.\n
b) para
.\n
c) .
b)
c)