(Função Gama) A função Gama é definida pela integral imprópria
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1} e^{-t} d t, \text { para } p>0
a) Mostre que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p), para p>0;
b) Mostre que \Gamma(n)=n ! para n \subset \mathbb{N};
c) Seja p>-1. Mostre que
\mathcal{L}\left(t^{p}\right)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, \quad s>0

Passo 1

O enunciado dá a função Gama por
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt,\quad \text{para } p>0,
e pede três coisas:
a) Mostrar que \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) para \,p>0.
b) Mostrar o valor de \Gamma(n) quando n é um número natural (isto é, n\in\mathbb{N}). (Observação: o resultado clássico é \Gamma(n)=(n-1)!.)
c) Para p>-1, mostrar que a transformada de Laplace de t^{p} satisfaz
\mathcal{L}\bigl(t^{p}\bigr)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0.
Lista das informações relevantes que o enunciado dá:
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt\quad (p>0).
As perguntas são exatamente (a), (b) e (c) acima. A resolução começa agora.

Passo 2

Vamos provar (a) usando integração por partes. Primeiro lembro a fórmula de integração por partes: se u=u(t) e v=v(t) são funções diferenciáveis, então
\int_{a}^{b} u'(t)v(t)\,dt = \bigl[u(t)v(t)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(t)v'(t)\,dt.
No nosso caso queremos aplicar a integração por partes à integral que define \Gamma(p+1). Escrevemos a definição com p+1:
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} t^{(p+1)-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-t}\,dt.
Escolhemos para integrar por partes:
u(t)=t^{p}\quad\text{e}\quad dv=e^{-t}\,dt.
Então calculamos du e v:
du = p\,t^{p-1}\,dt,\qquad v = -e^{-t}.

Passo 3

Aplicando integração por partes com essas escolhas, obtemos
\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-t}\,dt = \bigl[-t^{p}e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigl(-e^{-t}\bigr)\,p\,t^{p-1}\,dt.
Isto simplifica para
\Gamma(p+1)=\left(\lim_{t\to\infty} -t^{p}e^{-t} - \bigl(-0^{p}e^{0}\bigr)\right) + p\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt.
Agora precisamos analisar os termos nas fronteiras t\to\infty e t\to 0^{+}.

Passo 4

Justificativa dos termos de fronteira:
  • Para t\to\infty: o limite \lim_{t\to\infty} t^{p}e^{-t} é 0 para qualquer p real fixo. Uma forma de ver isso é escrever t^{p}e^{-t}=\dfrac{t^{p}}{e^{t}} e aplicar L’Hôpital repetidamente (derivando numerador e denominador p vezes se p for inteiro, ou observar que a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência). Assim o termo em +\infty vale 0.
  • Para t\to 0^{+}: como p>0, \lim_{t\to 0^{+}} t^{p}e^{-t}=0 porque t^{p}\to 0 e e^{-t}\to 1. Logo o termo em 0 também é 0.
Portanto o termo de fronteira \bigl[-t^{p}e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=0-0=0.

Passo 5

Com os termos de fronteira zerados, a igualdade do Passo 3 fica
\Gamma(p+1)=p\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt.
Mas a integral à direita é exatamente \Gamma(p) pela definição. Portanto obtemos a relação de recorrência desejada:
\boxed{\Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p),\quad p>0.}

Passo 6

Agora (b). Queremos o valor de \Gamma(n) para n\in\mathbb{N}. Primeiro calculamos a base:
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} t^{1-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt=\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=1.
Usando a relação do Passo 5 com p=1,2,\dots, temos
\Gamma(2)=1\cdot\Gamma(1)=1,
\Gamma(3)=2\cdot\Gamma(2)=2\cdot 1=2,
e em geral, aplicando a recorrência sucessivas vezes,
\Gamma(n)= (n-1)\Gamma(n-1)=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)=\cdots=(n-1)(n-2)\cdots 1\cdot\Gamma(1).
Como \Gamma(1)=1, concluímos
\boxed{\Gamma(n)=(n-1)!\quad\text{para } n\in\mathbb{N}.}
(Isto é consistente com a definição de fatorial \,m!=m(m-1)\cdots 1 e com 0!=1.)

Passo 7

Agora (c). Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) razoável, sua transformada é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,\qquad s>0.
Queremos calcular \mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty} t^{p}e^{-st}\,dt para p>-1 (essa condição garante integrabilidade no zero) e s>0.

Passo 8

Fazemos a mudança de variável u=s t. Então t=\dfrac{u}{s} e dt=\dfrac{du}{s}. Quando t vai de 0 a \infty, u também vai de 0 a \infty. Substituindo na integral,
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s) = \int_{0}^{\infty} t^{p} e^{-s t}\,dt = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^{p} e^{-u}\,\frac{du}{s}.
Colocando os fatores de s em evidência obtemos
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s) = s^{-p-1}\int_{0}^{\infty} u^{p} e^{-u}\,du.
A integral \int_{0}^{\infty} u^{p} e^{-u}\,du é exatamente a definição de \Gamma(p+1) porque \Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} u^{(p+1)-1} e^{-u}\,du=\int_{0}^{\infty} u^{p}e^{-u}\,du. Portanto
\boxed{\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0.}

Passo 9

Comentários finais (didáticos e rápidos):
  • A relação \Gamma(p+1)=p\Gamma(p) é a peça-chave: ela liga \Gamma com o fatorial quando p é inteiro.
  • Em (b) vimos que \Gamma(n)=(n-1)!. Exemplo concreto: \Gamma(5)=4!=24.
  • Em (c) a condição p>-1 garante que t^{p} não cause divergência na vizinhança de 0 (pois t^{p} é integrável em 0 quando p>-1), e s>0 garante decaimento exponencial em \infty.

Resposta

a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) para p>0.\n
b) \Gamma(n)=(n-1)! para n\in\mathbb{N}.\n
c) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^{p}\bigr)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}},\quad s>0.

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