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r(t)=(3 t^2-6 t) imath-4 t^3 jmath+(3 t+2) k
O vetor posição de um corpo possuindo 6 kg é dado (em metros) por
a) Usando a definição de torque, calcule diretamente o torque que atua sobre
  • corpo.
    b) Faça o mesmo com o momento angular.
    c) Verifique a relação bartau=d l / d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o vetor posição de um corpo de 6 kg em função do tempo:
r(t) = (3 t^2 - 6 t) imath - 4 t^3 jmath + (3 t + 2) k
Vamos precisar usar conceitos de torque e momento angular da física clássica. Para isso, vamos lembrar que:
  • Torque ( tau) é dado por tau = r times F, onde F é a força atuando no corpo.
  • Força ( F) pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton: F = m cdot a, onde a é a aceleração.
  • Momento Angular ( L) é dado por L = r times p, onde p = m cdot v é o momento linear.
  • A relação que vamos verificar é tau = dLdt.
Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a: Calculando o torque ( tau) diretamente
Primeiro, precisamos encontrar a força atuando no corpo. Para isso, vamos determinar a aceleração a(t).
  1. Encontrar a velocidade v(t):
    Derivamos o vetor posição em relação ao tempo.
v(t) = dr(t)dt = ddt[(3 t^2 - 6 t) imath - 4 t^3 jmath + (3 t + 2) k]
v(t) = (6 t - 6) imath - 12 t^2 jmath + 3 k
  1. Encontrar a aceleração a(t):
    Derivamos a velocidade em relação ao tempo.
a(t) = dv(t)dt = ddt[(6 t - 6) imath - 12 t^2 jmath + 3 k]
a(t) = 6 imath - 24 t jmath + 0 k
a(t) = 6 imath - 24 t jmath
  1. Calcular a força F(t):
    Usando F = m cdot a, onde m = 6 , kg.
F(t) = 6 cdot (6 imath - 24 t jmath) = 36 imath - 144 t jmath
  1. Calcular o torque tau(t):
    Usamos tau = r times F.
r(t) = (3 t^2 - 6 t) imath - 4 t^3 jmath + (3 t + 2) k
F(t) = 36 imath - 144 t jmath
Agora, calculamos o produto vetorial:
tau(t) = imath & jmath & k 3 t^2 - 6 t & -4 t^3 & 3 t + 2 36 & -144 t & 0
Calculando cada componente:
taux = (-4 t^3)(0) - (3 t + 2)(-144 t) = 0 + 432 t^2 + 288 t = 432 t^2 + 288 t
tauy = -[(3 t^2 - 6 t)(0) - (3 t + 2)(36)] = -[0 - 108 t - 72] = 108 t + 72
tauz = (3 t^2 - 6 t)(-144 t) - (-4 t^3)(36) = (-432 t^3 + 864 t^2) + 144 t^3 = (-288 t^3 + 864 t^2)
Portanto,
tau(t) = (432 t^2 + 288 t) imath + (108 t + 72) jmath + (-288 t^3 + 864 t^2) k

Passo 3

Parte b: Calculando o momento angular ( L)
Agora, vamos calcular o momento angular do corpo. A fórmula é L = r times p, onde p = m cdot v.
  1. Calcular o momento linear p(t):
p(t) = m cdot v(t) = 6 cdot [(6 t - 6) imath - 12 t^2 jmath + 3 k]
p(t) = (36 t - 36) imath - 72 t^2 jmath + 18 k
  1. Calcular o momento angular L(t):
    Usamos L = r times p.
r(t) = (3 t^2 - 6 t) imath - 4 t^3 jmath + (3 t + 2) k
p(t) = (36 t - 36) imath - 72 t^2 jmath + 18 k
Calculamos o produto vetorial:
L(t) = imath & jmath & k 3 t^2 - 6 t & -4 t^3 & 3 t + 2 36 t - 36 & -72 t^2 & 18
Calculando cada componente:
Lx = (-4 t^3)(18) - (3 t + 2)(-72 t^2) = -72 t^3 + 216 t^3 + 144 t^2 = 144 t^3 + 144 t^2
Ly = -[(3 t^2 - 6 t)(18) - (3 t + 2)(36 t - 36)]
Ly = -[54 t^2 - 108 t - (108 t^2 - 108 t + 72 t - 72)]
Ly = -[54 t^2 - 108 t - 108 t^2 + 108 t - 72 t + 72]
Ly = -[-54 t^2 - 72 t + 72] = 54 t^2 + 72 t - 72
Lz = (3 t^2 - 6 t)(-72 t^2) - (-4 t^3)(36 t - 36)
Lz = (-216 t^4 + 432 t^3) - (-144 t^4 + 144 t^3) = (-216 t^4 + 432 t^3 + 144 t^4 - 144 t^3) = (-72 t^4 + 288 t^3)
Portanto,
L(t) = (144 t^3 + 144 t^2) imath + (54 t^2 + 72 t - 72) jmath + (-72 t^4 + 288 t^3) k

Passo 4

Parte c: Verificando a relação tau = dLdt
Vamos calcular a derivada do momento angular em relação ao tempo e verificar se é igual ao torque calculado na parte (a).
  1. Derivar L(t) em relação ao tempo:
L(t) = (144 t^3 + 144 t^2) imath + (54 t^2 + 72 t - 72) jmath + (-72 t^4 + 288 t^3) k
dLdt = ddt[144 t^3 + 144 t^2] imath + ddt[54 t^2 + 72 t - 72] jmath + ddt[-72 t^4 + 288 t^3] k
dLdt = (432 t^2 + 288 t) imath + (108 t + 72) jmath + (-288 t^3 + 864 t^2) k
  1. Comparar com o torque tau(t) da parte (a):
tau(t) = (432 t^2 + 288 t) imath + (108 t + 72) jmath + (-288 t^3 + 864 t^2) k
Observamos que:
dLdt = tau(t)
Portanto, a relação tau = dLdt está verificada.

Resposta

a) O torque que atua sobre o corpo é tau(t) = (432 t^2 + 288 t) imath + (108 t + 72) jmath + (-288 t^3 + 864 t^2) k.
b) O momento angular do corpo é L(t) = (144 t^3 + 144 t^2) imath + (54 t^2 + 72 t - 72) jmath + (-72 t^4 + 288 t^3) k.
c) A relação tau = dLdt está validada, pois ambas as expressões são iguais.

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