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O vetor posição de um corpo possuindo 6 kg é dado (em metros) por
a) Usando a definição de torque, calcule diretamente o torque que atua sobre
- corpo.
b) Faça o mesmo com o momento angular.
c) Verifique a relação
bartau=d l / d t .
a) Usando a definição de torque, calcule diretamente o torque que atua sobre
b) Faça o mesmo com o momento angular.
c) Verifique a relação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá o vetor posição de um corpo de 6 kg em função do tempo:
Vamos precisar usar conceitos de torque e momento angular da física clássica. Para isso, vamos lembrar que:
- Torque (
) é dado portau , ondetau = r times F é a força atuando no corpo.F - Força (
) pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton:F , ondeF = m cdot a é a aceleração.a - Momento Angular (
) é dado porL , ondeL = r times p é o momento linear.p = m cdot v - A relação que vamos verificar é
.tau = dLdt
Vamos resolver cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a: Calculando o torque (
tau ) diretamente
Primeiro, precisamos encontrar a força atuando no corpo. Para isso, vamos determinar a aceleração
a(t) .
- Encontrar a velocidade
:v(t)
Derivamos o vetor posição em relação ao tempo.
- Encontrar a aceleração
:a(t)
Derivamos a velocidade em relação ao tempo.
- Calcular a força
:F(t)
Usando , ondeF = m cdot a .m = 6 , kg
- Calcular o torque
:tau(t)
Usamos .tau = r times F
Agora, calculamos o produto vetorial:
Calculando cada componente:
Portanto,
Passo 3
Parte b: Calculando o momento angular (
L )
Agora, vamos calcular o momento angular do corpo. A fórmula é
L = r times p , onde
p = m cdot v .
- Calcular o momento linear
:p(t)
- Calcular o momento angular
:L(t)
Usamos .L = r times p
Calculamos o produto vetorial:
Calculando cada componente:
Portanto,
Passo 4
Parte c: Verificando a relação
tau = dLdt
Vamos calcular a derivada do momento angular em relação ao tempo e verificar se é igual ao torque calculado na parte (a).
- Derivar
em relação ao tempo:L(t)
- Comparar com o torque
da parte (a):tau(t)
Observamos que:
Portanto, a relação
tau = dLdt está verificada.
Resposta
a) O torque que atua sobre o corpo é
tau(t) = (432 t^2 + 288 t) imath + (108 t + 72) jmath + (-288 t^3 + 864 t^2) k .
b) O momento angular do corpo é
L(t) = (144 t^3 + 144 t^2) imath + (54 t^2 + 72 t - 72) jmath + (-72 t^4 + 288 t^3) k .
c) A relação
tau = dLdt está validada, pois ambas as expressões são iguais.