4.11) Um recipiente de 10 litros de capacidade contém, inicialmente, hidrogênio a uma pressão de 5 atm na temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}. É introduzida no recipiente uma massa de 2 kg de material adsorvente e, após ser atingido o equilíbrio na mesma temperatura, verifica-se que a pressão cai para 3 atm . Posteriormente são admitidas mais 3,0 \mathrm{~g} de hidrogênio e verifica-se que, ao atingir o equilíbrio, a pressão duplica. Calcule o parâmetro exponencial da isoterma de Freundlich aplicável ao sistema. Despreze o volume próprio do adsorvente. R: 0,4276

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Volume do recipiente: V=10\\ \text{L}.
    • Temperatura: T=27^\circ\text{C}=300\\ \text{K}.
    • Pressão inicial (antes do adsorvente): P_1=5{,}0\\ \text{atm}.
    • Depois de introduzir o adsorvente e atingido o equilíbrio: P_2=3{,}0\\ \text{atm}.
    • Massa do adsorvente introduzida: m_{\text{ads}}=2{,}0\\ \text{kg}.
    • Posteriormente adiciona-se massa de hidrogênio: m_{\text{ad}}=3{,}0\\ \text{g}=0{,}003\\ \text{kg}.
    • Após novo equilíbrio a pressão “duplica” (ou seja, duplica em relação a P_2): P_3=2P_2=6{,}0\\ \text{atm}.
    • Massa molar do hidrogênio molecular: M_{\mathrm{H_2}}=2{,}016\\ \text{g/mol}.
    • Constante dos gases (usarei unidades L·atm·mol{-1}·K{-1}): R=0{,}082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}.
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular o parâmetro exponencial da isoterma de Freundlich aplicável ao sistema. Vou tomar a forma da isoterma de Freundlich como
    \frac{x}{m}=K\,P^{1/n},
    onde \dfrac{x}{m} é a quantidade adsorvida por unidade de massa de adsorvente (aqui em mol/kg), K é uma constante e 1/n é o parâmetro exponencial que o exercício pede.

Passo 2

Explicar a teoria essencial (de modo didático e passo a passo).
  • Lei dos gases ideais (útil para converter pressão em número de mols no volume dado):
    n=\frac{P V}{R T},
    onde n é o número de mols do gás na fase livre, P é a pressão de equilíbrio, V o volume ocupado pelo gás, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta. Aqui usaremos volumes em litros e R na unidade correspondente.
  • Isoterma de Freundlich (forma empregada):
    \frac{x}{m}=K\,P^{1/n},
    onde:
    • \dfrac{x}{m} é a quantidade adsorvida por unidade de massa de adsorvente (mol/kg),
    • P é a pressão de equilíbrio do gás no recipiente (atm),
    • K é constante de afinidade,
    • 1/n é o expoente da isoterma (parâmetro pedidio).
      Se tivermos duas condições de equilíbrio (P_a,\;x_a/m) e (P_b,\;x_b/m), podemos eliminar K e obter
    \frac{x_b/m}{x_a/m}=\left(\frac{P_b}{P_a}\right)^{1/n},
    de onde
    \frac{1}{n}=\frac{\ln\!\big((x_b/m)/(x_a/m)\big)}{\ln\!\big(P_b/P_a\big)}.
    Isso é tudo que precisamos: calcular \dfrac{x}{m} nas duas pressões de equilíbrio e aplicar essa relação.

Passo 3

Calcular os números de mols do gás nas várias situações usando a lei dos gases ideais (vou trabalhar em mols).
  • Defino um fator \alpha=\dfrac{V}{R T} tal que n=\alpha P. Usando V=10\\ \text{L}, R=0{,}082057\\ \text{L·atm·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} e T=300\\ \text{K}:
\alpha=\frac{V}{R T}=\frac{10}{0{,}082057\cdot 300}.
Calculo numérico:
0{,}082057\cdot 300=24{,}6171, \qquad \alpha=\frac{10}{24{,}6171}=0{,}40622\\ \text{mol·atm}^{-1}.
  • Número de mols antes do adsorvente (pressão P_1=5{,}0\\ \text{atm}):
n_1=\alpha P_1=0{,}40622\cdot 5{,}0=2{,}03111\\ \text{mol}.
  • Número de mols após inserir o adsorvente e atingir equilíbrio ( P_2=3{,}0\\ \text{atm}):
n_2=\alpha P_2=0{,}40622\cdot 3{,}0=1{,}21867\\ \text{mol}.
  • Portanto, número de mols adsorvidos na primeira condição:
n_{\text{ads,1}}=n_1-n_2=2{,}03111-1{,}21867=0{,}81244\\ \text{mol}.
  • Quantidade adsorvida por unidade de massa de adsorvente (em mol/kg) na primeira condição:
\left(\frac{x}{m}\right)_1=\frac{n_{\text{ads,1}}}{m_{\text{ads}}}=\frac{0{,}81244}{2{,}0}=0{,}40622\\ \text{mol·kg}^{-1}.
(Observação: o valor coincide numericamente com \alpha(P_1-P_2)/m_{\text{ads}}=\alpha(5-3)/2.)

Passo 4

Calcular a nova condição após adicionar 3{,}0\\ \text{g} de \mathrm{H_2} e atingir o novo equilíbrio ( P_3=6{,}0\\ \text{atm}) — aplicar balanço de massa.
  • Mols adicionados de \mathrm{H_2}:
\Delta n=\frac{m_{\text{ad}}}{M_{\mathrm{H_2}}}=\frac{3{,}0\\ \text{g}}{2{,}016\\ \text{g·mol}^{-1}}=1{,}48810\\ \text{mol}.
  • Número de mols na fase gasosa no novo equilíbrio ( P_3=6{,}0\\ \text{atm}):
n_3=\alpha P_3=0{,}40622\cdot 6{,}0=2{,}43733\\ \text{mol}.
  • Aumento do número de mols na fase gasosa devido à admissão é n_3-n_2:
n_3-n_2=2{,}43733-1{,}21867=1{,}21866\\ \text{mol}.
  • Pelo balanço de mols, a diferença entre o que foi admitido e o que ficou extra na fase gasosa é o que se adsorveu adicionalmente:
\Delta n_{\text{ads}}=\Delta n-(n_3-n_2)=1{,}48810-1{,}21866=0{,}26944\\ \text{mol}.
  • Assim, número total de mols adsorvidos na segunda condição:
n_{\text{ads,3}}=n_{\text{ads,1}}+\Delta n_{\text{ads}}=0{,}81244+0{,}26944=1{,}08188\\ \text{mol}.
  • Quantidade adsorvida por unidade de massa de adsorvente (mol/kg) na segunda condição:
\left(\frac{x}{m}\right)_3=\frac{n_{\text{ads,3}}}{m_{\text{ads}}}=\frac{1{,}08188}{2{,}0}=0{,}54094\\ \text{mol·kg}^{-1}.

Passo 5

Usar as duas condições \big(P_2,\\ (x/m)_1\big) e \big(P_3,\\ (x/m)_3\big) para obter o parâmetro exponencial 1/n da isoterma de Freundlich.
  • Relação entre as duas condições:
\frac{(x/m)_3}{(x/m)_1}=\left(\frac{P_3}{P_2}\right)^{1/n}.
  • Isolando 1/n:
\frac{1}{n}=\frac{\ln\!\big((x/m)_3/(x/m)_1\big)}{\ln\!\big(P_3/P_2\big)}.
  • Substituindo os valores numéricos:
\frac{(x/m)_3}{(x/m)_1}=\frac{0{,}54094}{0{,}40622}=1{,}331999, \qquad \frac{P_3}{P_2}=\frac{6{,}0}{3{,}0}=2{,}0.
  • Calculando os logaritmos (natural):
\ln(1{,}331999)=0{,}28707,\qquad \ln(2{,}0)=0{,}69315.
  • Portanto
\frac{1}{n}=\frac{0{,}28707}{0{,}69315}=0{,}4140\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação final — o parâmetro exponencial da isoterma de Freundlich.
  • A forma escolhida da isoterma foi \dfrac{x}{m}=K\,P^{1/n}. Logo o “parâmetro exponencial” pedido é \dfrac{1}{n}.
  • O valor calculado é \dfrac{1}{n}\approx 0{,}4140.

Resposta

0,4140

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