3.8 Sabe-se que uma força vertical de 890 N é necessária para remover da tábua o prego fixado em
. Ao primeiro movimento do prego, determine (a) o momento em relação a
da força exercida sobre o prego, (b) a intensidade da força
que cria o mesmo momento em relação a
se
, (c) a menor força
que cria o mesmo momento em relacz̃o a
Passo 1
O enunciado pede três coisas relativas ao momento em torno de
causado por forças aplicadas no prego em
e por uma força
:
- (a) Calcular o momento em relação a
da força vertical de aplicada em ao primeiro movimento do prego. - (b) Determinar a intensidade da força
que cria o mesmo momento em relação a quando . - (c) Determinar a menor intensidade possível de
que cria o mesmo momento em relação a .
Informações dadas (peguei estas informações da imagem):
- Força vertical em
: . - Distância horizontal entre
e : (ou seja, ). - A figura mostra uma linha de ação para
cujo parâmetro relacionado a está marcado como (usarei esse valor como o comprimento geométrico que aparece na construção do braço de alavanca). - O ângulo entre a direção de
e a horizontal é (para a parte (b) ). - O enunciado pede o momento em relação a
. Vou trabalhar com o valor escalar do momento (módulo) e indicar o sentido (horário/anti-horário).
Passo 2
Conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
- O momento (ou torque) de uma força
em relação a um ponto é o produto da intensidade da força pelo braço de alavanca perpendicular (distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto ). Em fórmula:
onde
é o módulo do momento em torno de
,
é a intensidade da força, e
é a distância perpendicular do ponto
até a linha de ação da força.
- Interpretação geométrica: se conhecemos um segmento de comprimento
e o ângulo entre esse segmento e a direção da força, então a distância perpendicular é . Assim podemos sempre reduzir o cálculo do momento a uma multiplicação simples: força vezes braço perpendicular. - Sentido do momento: usar a regra da mão direita ou imaginar a tendência de rotação. Se a força tende a girar o corpo no sentido horário, dizemos momento horário; se no sentido anti-horário, momento anti-horário.
Passo 3
Cálculo do item (a) — momento em relação a
da força vertical em
.
- A força em
é vertical para cima: . - A distância perpendicular da linha de ação dessa força ao ponto
é exatamente a distância horizontal entre e , que peguei da imagem: . - Aplicando
:
- Sentido: como
está à esquerda de (linha de ação para cima) essa força tende a girar no sentido horário visto pela face da figura. Usando a regra do produto vetorial , o vetor momento tem componente negativa no eixo (entrando na página). Em palavras: momento horário (entrando na página).
Passo 4
Cálculo do item (b) — intensidade de
que cria o mesmo momento quando
.
- Estratégia: igualar o momento causado por
ao momento encontrado em (a). Ou seja:
onde
é a distância perpendicular de
à linha de ação de
.
- Observando a figura e a indicação
(peguei esse valor na imagem), podemos relacionar com esse comprimento e com o ângulo . A construção geométrica mostrada na figura corresponde a um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento e cujo cateto oposto ao ângulo é a distância perpendicular até . Assim tomo
(Explicação rápida: o segmento de
mostrado na figura é o segmento que, projetado perpendicularmente à linha de ação de
, tem componente perpendicular igual a
.)
- Igualando momentos:
- Para
:
então
- Interpretação: com
pequeno é pequeno, logo é necessário um grande para obter o mesmo momento.
Passo 5
Cálculo do item (c) — menor força
que cria o mesmo momento em relação a
.
- A fórmula geral é
. Para que seja mínima, deve-se maximizar o denominador . Como é fixo, maximizar significa escolher máximo, isto é . - Portanto o mínimo ocorre quando
(linha de ação de é perpendicular ao segmento de usado na figura). - O menor
será
- Observação prática (motivacional): geometricamente isso significa que a forma mais eficiente para produzir um momento dado é aplicar a força de modo que sua linha de ação passe o mais distante possível do ponto
na direção perpendicular — aí a mesma alavanca produz maior momento por unidade de força.