3.8 Sabe-se que uma força vertical de 890 N é necessária para remover da tábua o prego fixado em C. Ao primeiro movimento do prego, determine (a) o momento em relação a B da força exercida sobre o prego, (b) a intensidade da força \mathbf{P} que cria o mesmo momento em relação a B se \alpha=10^{\circ}, (c) a menor força \mathbf{P} que cria o mesmo momento em relacz̃o a B

Passo 1

O enunciado pede três coisas relativas ao momento em torno de B causado por forças aplicadas no prego em C e por uma força \mathbf{P}:
  • (a) Calcular o momento em relação a B da força vertical de 890\\ \text{N} aplicada em C ao primeiro movimento do prego.
  • (b) Determinar a intensidade da força \mathbf{P} que cria o mesmo momento em relação a B quando \alpha=10^\circ.
  • (c) Determinar a menor intensidade possível de \mathbf{P} que cria o mesmo momento em relação a B.
Informações dadas (peguei estas informações da imagem):
  • Força vertical em C: \,F_C=890\\ \text{N}.
  • Distância horizontal entre B e C: 100\\ \text{mm} (ou seja, 0,100\\ \text{m}).
  • A figura mostra uma linha de ação para \mathbf{P} cujo parâmetro relacionado a B está marcado como 450\\ \text{mm} (usarei esse valor como o comprimento geométrico 0,450\\ \text{m} que aparece na construção do braço de alavanca).
  • O ângulo entre a direção de \mathbf{P} e a horizontal é \alpha (para a parte (b) \alpha=10^\circ).
  • O enunciado pede o momento em relação a B. Vou trabalhar com o valor escalar do momento (módulo) e indicar o sentido (horário/anti-horário).

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida e prática):
  • O momento (ou torque) de uma força \mathbf{F} em relação a um ponto B é o produto da intensidade da força pelo braço de alavanca perpendicular (distância perpendicular da linha de ação da força ao ponto B). Em fórmula:
M_B = F\; d_\perp,
onde M_B é o módulo do momento em torno de B, F é a intensidade da força, e d_\perp é a distância perpendicular do ponto B até a linha de ação da força.
  • Interpretação geométrica: se conhecemos um segmento de comprimento r e o ângulo \theta entre esse segmento e a direção da força, então a distância perpendicular é d_\perp = r\sin\theta. Assim podemos sempre reduzir o cálculo do momento a uma multiplicação simples: força vezes braço perpendicular.
  • Sentido do momento: usar a regra da mão direita ou imaginar a tendência de rotação. Se a força tende a girar o corpo no sentido horário, dizemos momento horário; se no sentido anti-horário, momento anti-horário.

Passo 3

Cálculo do item (a) — momento em relação a B da força vertical em C.
  • A força em C é vertical para cima: F_C=890\\ \text{N}.
  • A distância perpendicular da linha de ação dessa força ao ponto B é exatamente a distância horizontal entre B e C, que peguei da imagem: d_\perp = 100\\ \text{mm} = 0,100\\ \text{m}.
  • Aplicando M_B = F_C\; d_\perp:
M_B = 890\\ \text{N}\times 0,100\\ \text{m} = 89{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Sentido: como C está à esquerda de B (linha de ação para cima) essa força tende a girar no sentido horário visto pela face da figura. Usando a regra do produto vetorial \mathbf{r}\times\mathbf{F}, o vetor momento tem componente negativa no eixo z (entrando na página). Em palavras: momento horário (entrando na página).

Passo 4

Cálculo do item (b) — intensidade de \mathbf{P} que cria o mesmo momento quando \alpha=10^\circ.
  • Estratégia: igualar o momento causado por \mathbf{P} ao momento encontrado em (a). Ou seja:
M_B = P\; d_{\perp,P},
onde d_{\perp,P} é a distância perpendicular de B à linha de ação de \mathbf{P}.
  • Observando a figura e a indicação 450\\ \text{mm} (peguei esse valor na imagem), podemos relacionar d_{\perp,P} com esse comprimento e com o ângulo \alpha. A construção geométrica mostrada na figura corresponde a um triângulo retângulo cuja hipotenusa tem comprimento 0,450\\ \text{m} e cujo cateto oposto ao ângulo \alpha é a distância perpendicular até B. Assim tomo
d_{\perp,P}=0,450\\ \text{m}\,\sin\alpha.
(Explicação rápida: o segmento de 0,450\\ \text{m} mostrado na figura é o segmento que, projetado perpendicularmente à linha de ação de \mathbf{P}, tem componente perpendicular igual a 0,450\sin\alpha.)
  • Igualando momentos:
P\,(0,450\,\sin\alpha)=89{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Para \alpha=10^\circ:
\sin 10^\circ \approx 0{,}173648,
então
P=\frac{89{,}0}{0,450\times 0{,}173648} =\frac{89{,}0}{0{,}0781416}\approx 1139{,}5\\ \text{N}.
  • Interpretação: com \alpha pequeno \sin\alpha é pequeno, logo é necessário um P grande para obter o mesmo momento.

Passo 5

Cálculo do item (c) — menor força \mathbf{P} que cria o mesmo momento em relação a B.
  • A fórmula geral é P = M_B / (0,450\,\sin\alpha). Para que P seja mínima, deve-se maximizar o denominador 0,450\,\sin\alpha. Como 0,450 é fixo, maximizar significa escolher \sin\alpha máximo, isto é \sin\alpha=1.
  • Portanto o mínimo ocorre quando \alpha=90^\circ (linha de ação de \mathbf{P} é perpendicular ao segmento de 0,450\\ \text{m} usado na figura).
  • O menor P será
P_{\min}=\frac{M_B}{0,450\times 1}=\frac{89{,}0}{0,450}=197{,}8\\ \text{N}.
  • Observação prática (motivacional): geometricamente isso significa que a forma mais eficiente para produzir um momento dado é aplicar a força de modo que sua linha de ação passe o mais distante possível do ponto B na direção perpendicular — aí a mesma alavanca produz maior momento por unidade de força.

Resposta

M_B=89{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m} (momento horário, entrando na página)
P\big|_{\alpha=10^\circ}=1139{,}5\\ \text{N}
P_{\min}=197{,}8\\ \text{N}

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