3.5 Uma força \mathbf{P} de 35 N é aplicada em uma alavanca de câmbio. Determine o momento de \mathbf{P} sobre B quando a é igual a 25^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o momento da força \mathbf{P} em relação ao ponto B quando \alpha=25^\circ.
Informações dadas (peguei os comprimentos da imagem fornecida):
  • A força tem magnitude \,P=35\\ \mathrm{N}\,.
  • O ângulo entre a direção horizontal (para a esquerda) e a força é \,\alpha=25^\circ\,.
  • Distância horizontal entre B e a linha vertical sob A: \,203\\ \mathrm{mm}\, (da figura).
  • Distância vertical entre A e o chão: \,560\\ \mathrm{mm}\, (da figura).
Essas são todas as informações numéricas necessárias para calcular o momento de \mathbf{P} sobre B.

Passo 2

Conceito que vou usar (explicação didática):
  • O momento (ou torque) de uma força em relação a um ponto B é dado pelo produto vetorial \mathbf{M}_B=\mathbf{r}\times\mathbf{F}, onde \mathbf{r} é o vetor que vai de B ao ponto de aplicação da força (aqui, A) e \mathbf{F} é o vetor força.
  • Em problema plano (força e posição no mesmo plano xy), o momento resulta numa componente somente em z (fora do plano) e sua magnitude pode ser calculada por
M_B = r_x F_y - r_y F_x,
onde r_x,r_y são as componentes de \mathbf{r} e F_x,F_y as componentes de \mathbf{F}.
  • Alternativamente, a magnitude também pode ser obtida por M_B = r F \sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{r} e \mathbf{F}. Vou usar a expressão com componentes porque é direta e evita ter que achar \theta entre dois vetores arbitrários.
Importante: escolher um sistema de sinais. Aqui escolho:
  • eixo x positivo para a direita;
  • eixo y positivo para cima.
    A partir da figura, o ponto A está à direita e acima de B; a força aponta para baixo e para a esquerda (portanto terá componentes negativas em x e y).

Passo 3

Construir o vetor posição \mathbf{r} (de B até A) e converter unidades para o SI (metros):
  • Peguei da imagem \,203\\ \mathrm{mm} na horizontal e \,560\\ \mathrm{mm} na vertical.
  • Converter: \,1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    Portanto
r_x = 203\\ \mathrm{mm} = 0{,}203\\ \mathrm{m},\qquad r_y = 560\\ \mathrm{mm} = 0{,}560\\ \mathrm{m}.
O vetor posição é
\mathbf{r} = \bigl(r_x,\,r_y\bigr)=\bigl(0{,}203,\;0{,}560\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar as componentes da força \mathbf{F} a partir da magnitude e do ângulo \alpha.
Definição trigonométrica (explicada):
  • Para um vetor força que faz ângulo \alpha medido a partir da direção horizontal, as componentes são F_x = F\cos\alpha e F_y = F\sin\alpha, com sinais conforme a direção real do vetor.
  • Na figura a força aponta para a esquerda e para baixo; tomando x positivo para a direita e y positivo para cima, as componentes serão negativas:
F_x = -P\cos\alpha,\qquad F_y = -P\sin\alpha.
Calcular numericamente ( \alpha=25^\circ, P=35\\ \mathrm{N}). Uso valores trigonométricos aproximados:
\cos 25^\circ \approx 0{,}906307\qquad\text{e}\qquad \sin 25^\circ \approx 0{,}422618.
Logo
F_x = -35\cdot 0{,}906307 \approx -31{,}72\\ \mathrm{N},
F_y = -35\cdot 0{,}422618 \approx -14{,}79\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Calcular o momento usando a fórmula em componentes:
M_B = r_x F_y - r_y F_x.
Substituindo os valores numéricos:
r_x F_y = 0{,}203\cdot(-14{,}79)\approx -3{,}002\\ \mathrm{N\cdot m},
r_y F_x = 0{,}560\cdot(-31{,}72)\approx -17{,}786\\ \mathrm{N\cdot m}.
Portanto
M_B = (-3{,}002)-(-17{,}786)=14{,}784\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando convenientemente para duas casas significativas:
M_B \approx 14{,}8\\ \mathrm{N\cdot m}.
Interpretação do sinal:
  • O resultado positivo indica que o momento é no sentido “positivo” do eixo z (usando a regra da mão direita com x para a direita e y para cima). Em linguagem de engenharia plana, é um momento que produziria rotação contrária ao sentido horário visto pela face (isto é, sentido anti-horário quando visto de cima do plano), com sentido “para fora do plano”.

Passo 6

Resumo prático para prova (receita curta que dá para decorar):
  • Converta mm para m.
  • Monte \mathbf{r}=(r_x,r_y).
  • Expresse \mathbf{F} pelas componentes trigonométricas com os sinais corretos.
  • Use M_B=r_xF_y-r_yF_x.
  • Faça as multiplicações e subtração para obter o momento (unidade N·m).

Resposta

M_B = 14{,}8\\ \mathrm{N\cdot m} (sentido positivo, para fora do plano)

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