2.11 A serpentina de um reaquecedor de vapor é fabricada de um material cuja condutividade térmica vale \mathrm{k}=14 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e seus diâmetros interno e externo são, respectivamente, 32 e 42 mm . As temperaturas das superfícies externa e interna valem 580^{\circ} \mathrm{C} e 400^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Determine a taxa de perda de calor por metro de tubulação.

Passo 1

Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Condutividade térmica: k=14\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
    • Diâmetro interno: D_i=32\\ \mathrm{mm}.
    • Diâmetro externo: D_o=42\\ \mathrm{mm}.
    • Temperatura da superfície externa: T_o=580^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da superfície interna: T_i=400^\circ\mathrm{C}.
  • O que pede:
    • Determinar a taxa de perda de calor por metro de tubulação (ou seja, a taxa de calor por unidade de comprimento), que chamarei de q' (unidade \mathrm{W/m}).
  • Observações de conversão que vou usar:
    • Converter milímetros para metros: 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • Raios: r_i=D_i/2 e r_o=D_o/2.

Passo 2

Converter os diâmetros em raios em metros e calcular a diferença de temperatura.
  • Converter diâmetros para metros e obter raios: r_i=\frac{D_i}{2}=\frac{32\\ \mathrm{mm}}{2}=16\\ \mathrm{mm}=16\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0,016\\ \mathrm{m},
r_o=\frac{D_o}{2}=\frac{42\\ \mathrm{mm}}{2}=21\\ \mathrm{mm}=21\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0,021\\ \mathrm{m}.
  • Diferença de temperatura (usar T_o-T_i): \Delta T = T_o - T_i = 580^\circ\mathrm{C} - 400^\circ\mathrm{C} = 180^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Apresentar e explicar a fórmula para condução de calor radial em uma parede cilíndrica (por unidade de comprimento).
  • Conceito físico e fórmula: em regime estacionário, para condução radial num cilindro o fluxo de calor por unidade de comprimento q' é dado por q' = \frac{2\pi k (T_o - T_i)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo):
    • A lei de Fourier em coordenadas radiais diz que o fluxo de calor radial em uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L é \dot{Q}_r = -k A_r \frac{dT}{dr},onde A_r é a área de transferência de calor na seção cilíndrica de raio r, que vale A_r = 2\pi r L.
    • Para fluxo por unidade de comprimento, tomamos L=1 e chamamos o fluxo por unidade de comprimento de q'=\dot{Q}_r/L. Assim q' = -k (2\pi r)\frac{dT}{dr}.
    • Rearranjando e separando variáveis: \frac{dT}{dr} = -\frac{q'}{2\pi k}\,\frac{1}{r}.
    • Integrando de r_i a r_o e de T_i a T_o: \int_{T_i}^{T_o} dT = -\frac{q'}{2\pi k}\int_{r_i}^{r_o}\frac{dr}{r}.
T_o - T_i = -\frac{q'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
  • Isolando q' e trocando o sinal (para usar T_o-T_i positivo se T_o>T_i): q' = \frac{2\pi k (T_o - T_i)}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
  • Interpretação: o denominador \ln(r_o/r_i) representa a “resistência térmica” geométrica da parede cilíndrica; quanto maior essa razão, maior a resistência e menor o fluxo para mesma \Delta T.

Passo 4

Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular cuidadosamente (mostrando as contas).
  • Reescrevendo a fórmula para aplicar aos valores:
    q' = \frac{2\pi\cdot k\cdot \Delta T}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
  • Substituir k=14\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}, \Delta T=180^\circ\mathrm{C}, r_o=0,021\\ \mathrm{m}, r_i=0,016\\ \mathrm{m}:
    q' = \frac{2\pi\cdot 14 \cdot 180}{\ln\!\left(\dfrac{0,021}{0,016}\right)}.
  • Calcular passo a passo:
    • Primeiro o produto no numerador: 14\cdot 180 = 2520,
2\pi\cdot 2520 = 5040\pi \approx 15833{,}63\quad(\text{unidade: }\mathrm{W}).
  • Agora o logaritmo: \ln\!\left(\dfrac{0,021}{0,016}\right)=\ln\!(1{,}3125)\approx 0{,}2719337.
  • Finalmente a divisão: q' \approx \frac{15833{,}63}{0{,}2719337}\approx 5{,}82\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Interpretação do resultado e direção do fluxo.
  • Resultado numérico: q'\approx 5{,}82\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}, que também pode ser escrito como 58{,}2\\ \mathrm{kW/m}.
  • Direção do calor: como T_o=580^\circ\mathrm{C}>T_i=400^\circ\mathrm{C}, o calor flui radialmente do exterior para o interior (fluxo dirigido de fora para dentro). Aqui pediram a taxa de perda de calor por metro: normalmente reporta-se o módulo do fluxo; se for “perda” do fluido externo, então esse número é a taxa por metro que sai da superfície externa para o interior.

Resposta

5{,}82\times10^{4}\\ \mathrm{W/m}

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