2.11 A serpentina de um reaquecedor de vapor é fabricada de um material cuja condutividade térmica vale
e seus diâmetros interno e externo são, respectivamente, 32 e 42 mm . As temperaturas das superfícies externa e interna valem
e
, respectivamente. Determine a taxa de perda de calor por metro de tubulação.
Passo 1
Vamos organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Condutividade térmica:
. - Diâmetro interno:
. - Diâmetro externo:
. - Temperatura da superfície externa:
. - Temperatura da superfície interna:
.
- Condutividade térmica:
-
O que pede:
- Determinar a taxa de perda de calor por metro de tubulação (ou seja, a taxa de calor por unidade de comprimento), que chamarei de
(unidade ).
- Determinar a taxa de perda de calor por metro de tubulação (ou seja, a taxa de calor por unidade de comprimento), que chamarei de
-
Observações de conversão que vou usar:
- Converter milímetros para metros:
. - Raios:
e .
- Converter milímetros para metros:
Passo 2
Converter os diâmetros em raios em metros e calcular a diferença de temperatura.
- Converter diâmetros para metros e obter raios:
- Diferença de temperatura (usar
):
Passo 3
Apresentar e explicar a fórmula para condução de calor radial em uma parede cilíndrica (por unidade de comprimento).
- Conceito físico e fórmula: em regime estacionário, para condução radial num cilindro o fluxo de calor por unidade de comprimento
é dado por Explicação didática do porquê dessa fórmula (passo a passo): - A lei de Fourier em coordenadas radiais diz que o fluxo de calor radial em uma superfície cilíndrica de raio
e comprimento é onde é a área de transferência de calor na seção cilíndrica de raio , que vale . - Para fluxo por unidade de comprimento, tomamos
e chamamos o fluxo por unidade de comprimento de . Assim - Rearranjando e separando variáveis:
- Integrando de
a e de a :
- A lei de Fourier em coordenadas radiais diz que o fluxo de calor radial em uma superfície cilíndrica de raio
- Isolando
e trocando o sinal (para usar positivo se ): - Interpretação: o denominador
representa a “resistência térmica” geométrica da parede cilíndrica; quanto maior essa razão, maior a resistência e menor o fluxo para mesma .
Passo 4
Substituir os valores numéricos na fórmula e calcular cuidadosamente (mostrando as contas).
-
Reescrevendo a fórmula para aplicar aos valores:
-
Substituir
, , , : -
Calcular passo a passo:
- Primeiro o produto no numerador:
- Primeiro o produto no numerador:
- Agora o logaritmo:
- Finalmente a divisão:
Passo 5
Interpretação do resultado e direção do fluxo.
- Resultado numérico:
, que também pode ser escrito como . - Direção do calor: como
, o calor flui radialmente do exterior para o interior (fluxo dirigido de fora para dentro). Aqui pediram a taxa de perda de calor por metro: normalmente reporta-se o módulo do fluxo; se for “perda” do fluido externo, então esse número é a taxa por metro que sai da superfície externa para o interior.