2.5 As paredes de um forno são feitas de uma camada de tijolo refratário de condutividade térmica média \mathrm{kr}=17,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} e espessura de 150 mm revestida por tijolo comum ( \mathrm{kt}=0,72 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) de espessura 500 mm . A temperatura interna do conjunto é 1100^{\circ} \mathrm{C} e da superfície exterior, 50^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a taxa de perda de calor por unidade de área (m2) e a temperatura na superfície (Tc) de contato perfeito entre as duas camadas de tijolos…

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei alguns dados da imagem fornecida).
Dados fornecidos:
  • Temperatura interna: T_i = 1100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa: T_e = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Camada interna (tijolo refratário): condutividade térmica \,k_r = 17{,}5\\ \mathrm{W/(m^\circ C)} e espessura \,L_r = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Camada externa (tijolo comum): condutividade térmica \,k_t = 0{,}72\\ \mathrm{W/(m^\circ C)} e espessura \,L_t = 500\\ \mathrm{mm} = 0{,}500\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
  1. Calcular a taxa de perda de calor por unidade de área, isto é \,q/A em \mathrm{W/m^2}.
  2. Calcular a temperatura na superfície de contato perfeito entre as duas camadas, chamaremos essa temperatura de \,T_c.

Passo 2

Entendimento do modelo físico e da fórmula que vamos usar (aqui explico devagar como pensar)
Quando há fluxo de calor estacionário unidimensional através de camadas planas em série, a diferença de temperatura total entre os dois lados é repartida entre as camadas. Cada camada oferece uma “resistência térmica” à condução dada por:
R = \frac{L}{k},
onde:
  • R é a resistência térmica da camada em \mathrm{m^2\;^\circ C/W};
  • L é a espessura da camada em \mathrm{m};
  • k é a condutividade térmica em \mathrm{W/(m^\circ C)}.
Para camadas em série, as resistências somam:
R_{\text{tot}} = R_r + R_t.
A taxa de perda de calor por unidade de área (fluxo de calor por área) é análoga à corrente numa resistência elétrica e é dada por:
\frac{q}{A} = \frac{T_i - T_e}{R_{\text{tot}}}.
Essa fórmula é direta: diferença de temperatura dividida pela resistência total.

Passo 3

Calcular as resistências de cada camada usando \,R=\dfrac{L}{k}. Vou mostrar cada conta detalhadamente.
Resistência do tijolo refratário:
R_r = \frac{L_r}{k_r} = \frac{0{,}150}{17{,}5}.
Fazendo a divisão:
R_r = 0{,}008571428571428572\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}.
(Arredondando para fins práticos: R_r \approx 0{,}008571.)
Resistência do tijolo comum:
R_t = \frac{L_t}{k_t} = \frac{0{,}500}{0{,}72}.
Fazendo a divisão:
R_t = 0{,}6944444444444444\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}.
(Arredondando: R_t \approx 0{,}694444.)
Agora a resistência total:
R_{\text{tot}} = R_r + R_t = 0{,}008571428571428572 + 0{,}6944444444444444 = 0{,}703015873015873\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}.

Passo 4

Calcular a taxa de perda de calor por unidade de área usando
\frac{q}{A} = \frac{T_i - T_e}{R_{\text{tot}}}.
Substituindo os valores:
\frac{q}{A} = \frac{1100 - 50}{0{,}703015873015873} = \frac{1050}{0{,}703015873015873}.
Fazendo a divisão:
\frac{q}{A} \approx 1\,493{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.
Interpretação rápida: por cada metro quadrado dessa parede, cerca de 1{,}5\\ \mathrm{kW} estão sendo perdidos por condução.

Passo 5

Agora calcular a temperatura de contato T_c. A ideia: a queda de temperatura através da camada refratária (a mais interna) é
\Delta T_r = \left(\frac{q}{A}\right) R_r.
Então
T_c = T_i - \Delta T_r.
Calculemos \Delta T_r:
\Delta T_r = 1\,493{,}533\cdots \times 0{,}008571428571428572 \approx 12{,}7963^\circ\mathrm{C}.
Portanto
T_c = 1100 - 12{,}7963 \approx 1087{,}2^\circ\mathrm{C}.
Como verificação rápida, a queda pela camada externa seria T_c - T_e \approx 1087{,}2 - 50 = 1\,037{,}2^\circ\mathrm{C}, e a soma das quedas 12{,}8 + 1\,037{,}2 \approx 1050^\circ\mathrm{C}, que é exatamente T_i - T_e, então está consistente.

Passo 6

Resumo numérico final (apenas para ter tudo à vista antes da resposta):
  • Resistências: R_r \approx 0{,}008571\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}, R_t \approx 0{,}694444\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}.
  • Resistência total: R_{\text{tot}} \approx 0{,}7030159\\ \mathrm{m^2\;^\circ C/W}.
  • Taxa de perda de calor por unidade de área: \dfrac{q}{A} \approx 1\,493{,}5\\ \mathrm{W/m^2}.
  • Temperatura de contato: T_c \approx 1087{,}2^\circ\mathrm{C}.

Resposta

\dfrac{q}{A} \approx 1\,493{,}5\\ \mathrm{W/m^2}
T_c \approx 1087{,}2^\circ\mathrm{C}

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