2.4 A parede de um forno de espessura de 150 mm é feita de tijolo refratário, cuja condutividade térmica varia de acordo com a temperatura de acordo com
, sendo T em
e k em
. Sabendo que na superfície interior da parede voltada para o forno a temperatura vale
e do lado de fora está a
, determine a distribuição de temperaturas ao longo da espessura da parede.
Passo 1
O enunciado pede a distribuição de temperatura através da espessura de uma parede plana de espessura
, feita de tijolo cuja condutividade térmica varia com a temperatura segundo
onde
está em
e
em
. As temperaturas nas superfícies são:
- superfície interior (lado do forno):
; - superfície exterior:
, com .
Pergunta: encontrar
para
(distribuição de temperatura ao longo da espessura).
Passo 2
Conceito físico e equação básica (aulas rápidas, sem medo!).
- Em regime estacionário, sem geração interna e direção principal do fluxo em
(1D), o fluxo de calor (por unidade de área, ) é constante no material e é dado pela Lei de Fourier:
- Como
depende de , mas não de diretamente, e é constante, podemos separar variáveis:
Isto nos permite integrar relacionando
e
.
Passo 3
Integração para obter relação entre
e
.
- Fixando a origem
na superfície interna ( ) e na superfície externa ( ), integramos:
- Definindo a primitiva
obtemos
Aplicando
e
permite calcular
:
Passo 4
Calcular a primitiva
explicitamente (tranquilo, só integrar um polinômio).
- Dado
,
Para simplificar números, note que
. Assim
Passo 5
Calcular o fluxo
usando as condições de contorno.
- Avaliando
nos extremos:
- Então
- Logo o fluxo de calor (positivo no sentido
crescente, do interior para o exterior) é
Passo 6
Obter
em forma explícita.
- Voltando à relação integrada:
ou seja
- Isso é uma equação quadrática em
. Reescrevendo:
Multiplicando por
(para a forma padrão
):
- Aplicando a fórmula quadrática (
, , ):
- Precisamos escolher o sinal que dá
. Ao verificar vê-se que o sinal negativo (o menos dentro do numerador) fornece o valor correto (o outro sinal produziria um valor irrealisticamente pequeno/negativo). Portanto:
Passo 7
Substituir os valores numéricos para escrever
numa forma mais direta (tudo em
e
em metros).
- Já temos
e . Também e . - Inserindo números dentro da raiz e simplificando dá (apenas aritmética direta):
- Essa fórmula fornece
e (cheque rápido para ver que bate com as condições de contorno).
Passo 8
Interpretação rápida e checagens (um empurrãozinho final).
- A distribuição obtida é monótona decrescente de
para conforme vai de a , como esperado fisicamente. - O fluxo de calor médio calculado é grande, mas coerente com o grande salto de temperatura e a condutividade relativamente alta em temperaturas elevadas.