2.4 A parede de um forno de espessura de 150 mm é feita de tijolo refratário, cuja condutividade térmica varia de acordo com a temperatura de acordo com \mathrm{k}=24,125-0,009375 \times \mathrm{T}, sendo T em { }^{\circ} \mathrm{C} e k em \mathrm{W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que na superfície interior da parede voltada para o forno a temperatura vale 1300^{\circ} \mathrm{C} e do lado de fora está a 50^{\circ} \mathrm{C}, determine a distribuição de temperaturas ao longo da espessura da parede.

Passo 1

O enunciado pede a distribuição de temperatura através da espessura de uma parede plana de espessura 0,150\\ \mathrm{m}, feita de tijolo cuja condutividade térmica varia com a temperatura segundo
k(T)=24{,}125-0{,}009375\,T,
onde T está em {}^\circ\mathrm{C} e k em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\,{}^\circ\mathrm{C}). As temperaturas nas superfícies são:
  • superfície interior (lado do forno): T(0)=1300\\ ^\circ\mathrm{C};
  • superfície exterior: T(L)=50\\ ^\circ\mathrm{C}, com L=0{,}150\\ \mathrm{m}.
Pergunta: encontrar T(x) para 0\le x\le L (distribuição de temperatura ao longo da espessura).

Passo 2

Conceito físico e equação básica (aulas rápidas, sem medo!).
  • Em regime estacionário, sem geração interna e direção principal do fluxo em x (1D), o fluxo de calor q (por unidade de área, \mathrm{W/m^2}) é constante no material e é dado pela Lei de Fourier:
q(x) = -k(T)\,\frac{dT}{dx}.
  • Como k depende de T, mas não de x diretamente, e q é constante, podemos separar variáveis:
q = -k(T)\,\frac{dT}{dx}\quad\Longrightarrow\quad dx = -\frac{k(T)}{q}\,dT.
Isto nos permite integrar relacionando x e T.

Passo 3

Integração para obter relação entre x e T.
  • Fixando a origem x=0 na superfície interna ( T=1300) e x=L na superfície externa ( T=50), integramos:
\int_{0}^{x} dx' = -\frac{1}{q}\int_{T(0)}^{T(x)} k(T')\,dT'.
  • Definindo a primitiva
F(T)=\int k(T)\,dT,
obtemos
x = -\frac{1}{q}\bigl(F(T(x)) - F(T(0))\bigr).
Aplicando x=L e T(L)=50 permite calcular q:
L = -\frac{1}{q}\bigl(F(50)-F(1300)\bigr)\quad\Rightarrow\quad q = -\frac{F(50)-F(1300)}{L}.

Passo 4

Calcular a primitiva F(T) explicitamente (tranquilo, só integrar um polinômio).
  • Dado k(T)=24{,}125-0{,}009375\,T,
F(T)=\int\bigl(24{,}125-0{,}009375\,T\bigr)\,dT = 24{,}125\,T - 0{,}009375\frac{T^2}{2}.
Para simplificar números, note que 0{,}009375/2=0{,}0046875. Assim
F(T)=24{,}125\,T - 0{,}0046875\,T^2.

Passo 5

Calcular o fluxo q usando as condições de contorno.
  • Avaliando F nos extremos:
F(50)=24{,}125\cdot 50 - 0{,}0046875\cdot 50^2 = 1194{,}53125,
F(1300)=24{,}125\cdot 1300 - 0{,}0046875\cdot 1300^2 = 23440{,}625.
  • Então
F(50)-F(1300) = -22246{,}09375.
  • Logo o fluxo de calor (positivo no sentido x crescente, do interior para o exterior) é
q = -\frac{F(50)-F(1300)}{L} = \frac{22246{,}09375}{0{,}15} = 148307{,}291666\ldots\\ \mathrm{W/m^2}.

Passo 6

Obter T(x) em forma explícita.
  • Voltando à relação integrada:
F(T(x)) = F(1300) - q\,x,
ou seja
24{,}125\,T(x) - 0{,}0046875\,T(x)^2 = F(1300) - q\,x.
  • Isso é uma equação quadrática em T(x). Reescrevendo:
-0{,}0046875\,T^2 +24{,}125\,T -\bigl(F(1300)-q x\bigr)=0.
Multiplicando por -1 (para a forma padrão aT^2+bT+c=0):
0{,}0046875\,T^2 -24{,}125\,T + \bigl(F(1300)-q x\bigr)=0.
  • Aplicando a fórmula quadrática ( a=0{,}0046875, b=-24{,}125, c=F(1300)-q x):
T(x)=\frac{24{,}125 \pm \sqrt{24{,}125^2 -4\cdot 0{,}0046875\cdot\bigl(F(1300)-q x\bigr)}}{2\cdot 0{,}0046875}.
  • Precisamos escolher o sinal que dá T(0)=1300. Ao verificar x=0 vê-se que o sinal negativo (o menos dentro do numerador) fornece o valor correto (o outro sinal produziria um valor irrealisticamente pequeno/negativo). Portanto:
T(x)=\frac{24{,}125 - \sqrt{24{,}125^2 -4\cdot 0{,}0046875\cdot\bigl(F(1300)-q x\bigr)}}{2\cdot 0{,}0046875}.

Passo 7

Substituir os valores numéricos para escrever T(x) numa forma mais direta (tudo em ^\circ\mathrm{C} e x em metros).
  • Já temos F(1300)=23440{,}625 e q=148307{,}291666\ldots. Também 2\cdot 0{,}0046875=0{,}009375 e 24{,}125^2=582{,}015625.
  • Inserindo números dentro da raiz e simplificando dá (apenas aritmética direta):
T(x)=\frac{24{,}125 - \sqrt{142{,}50390625 + 2780{,}761720625\,x}}{0{,}009375}.
  • Essa fórmula fornece T(0)=1300\\ ^\circ\mathrm{C} e T(0{,}15)\approx 50\\ ^\circ\mathrm{C} (cheque rápido para ver que bate com as condições de contorno).

Passo 8

Interpretação rápida e checagens (um empurrãozinho final).
  • A distribuição obtida é monótona decrescente de 1300 para 50 conforme x vai de 0 a 0{,}15\\ \mathrm{m}, como esperado fisicamente.
  • O fluxo de calor médio calculado é grande, mas coerente com o grande salto de temperatura e a condutividade relativamente alta em temperaturas elevadas.

Resposta

T(x)=\frac{24{,}125 - \sqrt{142{,}50390625 + 2780{,}761720625\,x}}{0{,}009375}\quad\left({}^\circ\mathrm{C}\right),\qquad 0\le x\le 0{,}15\\ \mathrm{m}

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