11- Com a temperatura de 12^{\circ} \mathrm{C} as barras estão bem ajustadas entre as paredes. Se a temperatura passa para 18^{\circ} \mathrm{C} qual a força exercida nos apoios?
Aço Latão Cobre
E_{a c o}=200 \mathrm{GPa} E_{\text {latão }}=100 \mathrm{GPa}ã E_{c u}=120 \mathrm{GPa}
\alpha_{a \subsetneq o}=12\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C} \alpha_{\text {latão }}=21\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}ã \alpha_{c u}=17\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado descreve uma barra composta de três segmentos em série, presos rigidamente entre duas paredes, inicialmente sem tensão a 12^\circ\mathrm{C}. As características são:
• Aço: L_1=300\:\mathrm{mm}, A_1=200\:\mathrm{mm}^2, E_1=200\:\mathrm{GPa}, \alpha_1=12\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}
• Latão: L_2=200\:\mathrm{mm}, A_2=450\:\mathrm{mm}^2, E_2=100\:\mathrm{GPa}, \alpha_2=21\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}
• Cobre: L_3=100\:\mathrm{mm}, A_3=515\:\mathrm{mm}^2, E_3=120\:\mathrm{GPa}, \alpha_3=17\times10^{-6}/^\circ\mathrm{C}
Quando a temperatura sobe a 18^\circ\mathrm{C} ( \Delta T=6^\circ\mathrm{C}), cada parte tenderia a se alongar livremente em
\delta_{i,\mathrm{livre}}=\alpha_i\,\Delta T\,L_i,
porém, como as extremidades estão fixas, surge uma força axial P que comprime cada trecho. Para achar P usamos superposição linear (deformação térmica menos deformação elástica) e a condição de compatibilidade
\sum_{i=1}^3\bigl(\delta_{i,\mathrm{livre}} - \delta_{i,P}\bigr)=0,
onde
\delta_{i,P}=\frac{P\,L_i}{E_i\,A_i}.

Passo 2

Calcular as deformações livres de cada trecho:
\delta_{1,\mathrm{livre}} =\alpha_1\,\Delta T\,L_1 =12\times10^{-6}\times6\times300 =0{,}0216\:\mathrm{mm},
\delta_{2,\mathrm{livre}} =\alpha_2\,\Delta T\,L_2 =21\times10^{-6}\times6\times200 =0{,}0252\:\mathrm{mm},
\delta_{3,\mathrm{livre}} =\alpha_3\,\Delta T\,L_3 =17\times10^{-6}\times6\times100 =0{,}0102\:\mathrm{mm}.
Total de alongamento livre:
\sum_{i}\delta_{i,\mathrm{livre}} =0{,}0216+0{,}0252+0{,}0102 =0{,}0570\:\mathrm{mm}.

Passo 3

Calcular a soma dos termos \tfrac{L_i}{E_iA_i}:
note que usamos E_i em \mathrm{N/mm}^2 ( 1\,\mathrm{GPa}=1000\,\mathrm{N/mm}^2).
\frac{L_1}{E_1A_1} =\frac{300}{(200\times1000)\times200} =7{,}50\times10^{-6}\:\mathrm{mm/N},
\frac{L_2}{E_2A_2} =\frac{200}{(100\times1000)\times450} =4{,}44\times10^{-6}\:\mathrm{mm/N},
\frac{L_3}{E_3A_3} =\frac{100}{(120\times1000)\times515} =1{,}62\times10^{-6}\:\mathrm{mm/N}.
Somando,
\sum_{i=1}^3\frac{L_i}{E_iA_i} =7{,}50\times10^{-6}+4{,}44\times10^{-6}+1{,}62\times10^{-6} =13{,}56\times10^{-6}\:\mathrm{mm/N}.

Passo 4

Da condição de compatibilidade
0 =\sum_i\delta_{i,\mathrm{livre}} -\sum_i\frac{P\,L_i}{E_iA_i} \quad\Longrightarrow\quad P =\frac{\sum_i\delta_{i,\mathrm{livre}}} {\sum_i\bigl(L_i/(E_iA_i)\bigr)}
P =\frac{0{,}0570\:\mathrm{mm}} {13{,}56\times10^{-6}\:\mathrm{mm/N}} \approx4200\:\mathrm{N}.

Resposta

A força exercida nos apoios é de aproximadamente 4{,}2\:\mathrm{kN} (compressiva sobre a barra).

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