Considere um fio de uma linha de transmissão elétrica suspenso entre duas torres (as coordenadas desses pontos são \left.\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) \mathrm{e}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)\right). Determine a função que descreve a forma desta linha. Dica: estude o exemplo 6.3 do Thornton-Marion e use como condição a minimização da energia potencial devido ao peso.

Passo 1

O enunciado pede a forma do fio homogêneo de densidade linear \rho suspenso entre \bigl(x_{1},y_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2}\bigr), obtida minimizando a energia potencial gravitacional. O conteúdo é cálculo variacional: escrever o funcional da energia potencial
U[y]=\rho g\int_{x_{1}}^{x_{2}}y\,\mathrm{d}s
com \mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}}\,\mathrm{d}x, aplicar Euler–Lagrange (ou primeira integral) e resolver a EDO resultante.

Passo 2

Em termos de x e y(x), a energia potencial é
U[y]=\rho g\int_{x_{1}}^{x_{2}}y\sqrt{1+y'^{2}}\;\mathrm{d}x.
Defina o integrando
F\bigl(y,y'\bigr)=y\sqrt{1+y'^{2}}\,.

Passo 3

Como F não depende explicitamente de x, podemos usar a primeira integral
F - y'\,\frac{\partial F}{\partial y'} = C,
com C constante. Calculando
\frac{\partial F}{\partial y'} = \frac{y\,y'}{\sqrt{1+y'^{2}}}
levamos a
y\sqrt{1+y'^{2}} - y'\,\frac{y\,y'}{\sqrt{1+y'^{2}}} =\frac{y}{\sqrt{1+y'^{2}}}=C.

Passo 4

Da relação
\frac{y}{\sqrt{1+y'^{2}}}=C
segue
y'^{2}=\frac{y^{2}-C^{2}}{C^{2}}, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\sqrt{y^{2}-C^{2}}}{C}.
Separamos variáveis e integramos:
\int\frac{C\,\mathrm{d}y}{\sqrt{y^{2}-C^{2}}} =\int\mathrm{d}x \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{arccosh}\!\Bigl(\frac{y}{C}\Bigr) =\frac{x-x_{0}}{C}.
Logo a solução geral é
y(x)=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x-x_{0}}{C}\Bigr),
onde x_{0} é outra constante de integração.

Passo 5

Para ajustar as duas constantes C e x_{0}, impõe-se
y_{1}=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_{1}-x_{0}}{C}\Bigr), \qquad y_{2}=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x_{2}-x_{0}}{C}\Bigr).
Resolvendo esse sistema determina-se C e x_{0} em função de \bigl(x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}\bigr).

Resposta

y(x)=C\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x-x_{0}}{C}\Bigr),
com C>0 e x_{0} dados pelas condições de contorno y(x_{1})=y_{1}, y(x_{2})=y_{2}.

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