Considere um fio de uma linha de transmissão elétrica suspenso entre duas torres (as coordenadas desses pontos são
. Determine a função que descreve a forma desta linha. Dica: estude o exemplo 6.3 do Thornton-Marion e use como condição a minimização da energia potencial devido ao peso.
Passo 1
O enunciado pede a forma do fio homogêneo de densidade linear
suspenso entre
e
, obtida minimizando a energia potencial gravitacional. O conteúdo é cálculo variacional: escrever o funcional da energia potencial
com
, aplicar Euler–Lagrange (ou primeira integral) e resolver a EDO resultante.
Passo 2
Em termos de
e
, a energia potencial é
Defina o integrando
Passo 3
Como
não depende explicitamente de
, podemos usar a primeira integral
com
constante. Calculando
levamos a
Passo 4
Da relação
segue
Separamos variáveis e integramos:
Logo a solução geral é
onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Para ajustar as duas constantes
e
, impõe-se
Resolvendo esse sistema determina-se
e
em função de
.
Resposta
com
e
dados pelas condições de contorno
,
.